Cтраница 2
Теорема 2.1. Если Т - матрица А суммирует какую-либо расходящуюся последовательность, то она суммирует, по крайней мере, одну неограниченную последовательность. [16]
Еще одна беда - но все же не катастрофа - расходящиеся последовательности называют бесконечно большими величинами. [17]
Очень легко привести примеры, когда метод Ньютона приводит к расходящейся последовательности итераций. [18]
Как следует из теоремы 2.1, не существует Г - матриц, суммирующих только ограниченные расходящиеся последовательности, хотя существуют Г - матрицы, сильнее, чем сходимость, не суммирующие ни одну расходящуюся ограниченную последовательность. Следующая теорема ( принадлежащая Агнью [ Г ]), которую мы приводим без доказательства, дает достаточные условия того, что Г - матрица не суммирует ни одной расходящейся ограниченной последовательности. [19]
Если такой случай имеет место, то мы получаем искусственный метод, позволяющий приписывать расходящейся последовательности sn ( x) определенный предел. [20]
Две рассмотренные задачи - об улучшении сходимости и о суммировании расходящихся рядов или пределах расходящихся последовательностей - связаны между собой. Во-первых, для решения их применяется один и тот же аппарат преобразований ( 4), и хотя эта связь является формальной, но она иногда позволяет дополнять исследования одной из задач результатами из другой. Во-вторых, задачи имеют некоторую внутреннюю связь, объяснить которую можно наиболее просто на частном случае. [21]
Любая арифметическая прогрессия ( а), у которой d O, также является расходящейся последовательностью. [22]
Пространство-время ( М, g), допускающее такой компакт К, причинно разделяющий две расходящиеся последовательности, называется причинно разделяемым. Далее, применяя принцип из разд. Этот результат, как будет видно в гл. В частности, мы покажем, что все двумерные глобально гиперболические пространственно-временные многообразия причинно разделяемы. Одно из этих условий и существование в сильно причинных пространственно-временных многообразиях причинно разделяемых непро-странственноподобных геодезических прямых влекут за собой также, что сильно причинное пространство-время, не содержащее направленных в будущее изотропных геодезических лучей, содержит времениподобную геодезическую прямую. [23]
Из следующего результата, принадлежащего Брудно А. Л. [1], вытекает, что если Т - матрица суммирует одну ограниченную расходящуюся последовательность, то она будет суммировать п линейно независимых ограниченных последовательностей. [24]
Выше мы обращали внимание на то, что преобразование ( 31) может переводить сходящиеся последовательности sn в расходящиеся последовательности ап. Обратное преобразование и теорема 4 позволяют высказать приводимый ниже результат. [25]
В настоящей главе мы рассмотрим одно из наиболее важных приложений бесконечных матриц, приводящее к обобщению понятия предела с применением его к расходящимся последовательностям и рядам. [26]
Следующий результат, принадлежащий Виланскому [9 ], указывает необходимые и достаточные условия для того, чтобы реверсивная) / ( - матрица могла суммировать расходящуюся последовательность. Теорема доказана для нормальных матриц. [27]
При соответствующих условиях ( которые будут перечислены ниже, в примере 7.2.4) отображение UA переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся и, возможно, некоторые расходящиеся последовательности в сходящиеся. [28]
При рассмотрении теорем ( 4.4, IV) и ( 4.4, VI) возникает следующий вопрос: что понимать под правильным значением обобщенного предела, получающегося в результате суммирования Г - матрицей данной расходящейся последовательности. [29]
Формула ( 12) показывает, что при возрастании р коэффициенты преобразования растут как pk, поэтому для них не выполняется первое условие теорем 1 и 2 и преобразование может, следовательно, переводить сходящуюся последовательность sn в расходящуюся последовательность сгр. [30]