Cтраница 4
Возьмем пространство U ( p, построенное в предыдущем параграфе. Так как пространство U универсально, a U [ р имеет счетную базу, то существует изометрическое отображение U [) р на множество М с U. Следовательно, множество M q конгруэнтно пространству U. Это множество содержится в метрическом пространстве V. Но пространство V не является полным, так как всякая последовательность, сходящаяся ( в U) к q, является в V фундаментальной расходящейся последовательностью. Покажем, что V неоднородно. В самом деле, пусть V однородно. Так как точка q не изолирована в U ( пространство U не содержит изолированных точек), то в U существуют две точки а и Ь, расстояния которых до точки q не равны. [46]
Тогда существует бесконечная последовательность хп а Е ( р), такая, что хп - У х ф Е ( р) при п - У оо. J ( р) вытекает существование максимального направленного в будущее изотропного геодезического сегмента уп из р в хп, п любое. Продолжим каждую кривую уп через хп до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, за которой сохраним то же обозначение уп. Можно считать, что сама последовательность уп определяет у. Согласно предложению 2.21, существует подпоследовательность JYfti последовательности JYni, У которой yk [ p, zk ] сходятся к у [ / 7, z ] в С - топологии на кривых. Y - В силу того что у - непространственноподоТэная кривая, она является максимальным направленным в будущее непродолжаемым в будущее изотропным геодезическим лучом. Взяв последовательность tn, подчиненную условию tn - у а, а в остальном произвольную, и положив 7 Y ( tn), получим требуемую расходящуюся последовательность. [47]