Cтраница 2
Одним из способов построения минимизирующей последовательности является процесс Ритца, к описанию которого мы переходим. [16]
О построении сильно сходящейся минимизирующей последовательности для непрерывного выпуклого функционала. [17]
Курант предложил метод построения минимизирующей последовательности, которая при известных условиях сходится не только в среднем, но и равномерно вместе с последовательностями производных до некоторого порядка. [18]
Общие соображения о построении минимизирующей последовательности управлений не определяют однозначно алгоритм фактического решения прикладных задач. Если предполагается такой алгоритм все-таки довести до программы, возникает большое число вопросов, которые мы условно отнесем к вычислительной технологии. Грамотное и ответственное решение таких вопросов совершенно необходимо; неудачное или случайное их решение способно испортить даже очень хорошую общую идею. Однако специфической особенностью этой стороны дела является отсутствие однозначного решения вопросов технологии. [19]
Эта последовательность является регуляризованной минимизирующей последовательностью для функционала / 6 [ z ] ( см. [7]) и, следовательно, сходится к элементу z0 при и - - оо. [20]
О Последовательность uk является минимизирующей последовательностью. [21]
Основой прямых методов является понятие минимизирующей последовательности. [22]
Важным является вопрос о сходимости минимизирующих последовательностей к точке безусловного минимума функционала. При изучении этого вопроса известную роль играют выпуклые функционалы, обладающие некоторыми дополнительными свойствами. Разумеется, если это неравенство имеет место для функционала /, то MO - точка минимума / ( м), и всякая минимизирующая последовательность сходится к этой точке UQ. Однако в бесконечномерных пространствах существуют строго выпуклые функционалы, имеющие в точке MO минимум, а значит, растущие вдоль всякого луча, выходящего из MQ, для которых тем не менее неравенство не имеет места. [23]
Основой прямых методов является построение минимизирующей последовательности функций, которое всегда возможно, если только inf / ( у) - со. Каждый из употребляемых в вариационном исчислении прямых методов характеризуется именно способом построения минимизирующих последовательностей. Однако следует заметить, что хотя минимизирующую последовательность можно построить во всякой вариационной задаче, предельной кривой такой последовательности может не существовать. Вопрос о существовании предельной кривой достаточно сложен. Он решен для широкого класса вариационных задач, но мы на этом останавливаться не будем. [24]
Данное неравенство показывает, что всякая минимизирующая последовательность сходится к точке минимума. [25]
В настоящей главе рассматриваются алгоритмы построения минимизирующих последовательностей, сходящихся к элементу, на котором рассматриваемый функционал достигает наименьшего значения. [26]
В последнем параграфе главы для построения минимизирующих последовательностей привлекается метод Ньютона - Канторовича приближенного решения нелинейных уравнений в нормированных пространствах. Хотя о приближениях Ньютона можно говорить в общем случае, полезные предложения о сходимости приближений Ньютона к точке минимума изучаемого функционала получаются лишь тогда, когда этот функционал оказывается выпуклым. [27]
Пределы и и v двух любых минимизирующих последовательностей ип и vn совпадают. [28]
Можно было бы строить любым способом минимизирующую последовательность для функционала энергии F и доказывать сходимость этой последовательности к х, опираясь на теоремы из 2.2. Однако наиболее удобным для практических целей является применение процесса Ритца. При этом и теория метода получается особо прозрачной и красивой. [29]
Для D ( и) строится специальная минимизирующая последовательность и доказывается сходимость этой последовательности. [30]