Cтраница 1
Под преобразованиями Бэклунда часто понимают ( особенно в дифференциальной геометрии) только половину преобразования. [1]
Указанные свойства преобразования Бэклунда и соответствующие свойства в - пространстве могут быть легко получены из преобразования Дарбу. [2]
Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше, хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием Бэклунда ( ПБ), которое используется в наших целях, называется любое преобразование, которое порождает локально новые решения уравнений автодуальности из старых. Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными связанными уравнениями в частных производных, ПБ может быть весьма полезным, если только известны тривиальные решения. [3]
Образно говоря, преобразование Бэклунда позволяет добавить солитон к известному решению синус-уравнения Гордона. [4]
Таким образом, коммутативность преобразований Бэклунда в спектральном пространстве - это просто коммутативность обычного умножения. Здесь мы видим еще одно преимущество ( с точки зрения простоты) вьполнения операций в спектральном пространстве, а не в конфигурационном. [5]
В общем случае вывод преобразований Бэклунда довольно громоздок и сложен. [6]
Однако вывод односолитоннОго решения из преобразования Бэклунда можно считать довольно спорным, так как очевидно, что принятое здесь упрощение, а именно пренебрежение дискретной частью спектральных данных, недопустимо в применении к солитонному решению. [7]
Другим важным свойством введенных выше преобразований Бэклунда является их коммутативность. В простейшем варианте, рассматриваемом в данном пункте параграфа, это свойство достаточно очевидно. В качестве исходного пункта возьмем некоторую заданную функцию и ( 0) ( я) и связанные с ней две функции, скажем и ( х) и и ( х), полученные из нее посредством этих двух преобразований Бэклунда. [8]
Следовательно, мы определяем здесь преобразование Бэклунда как любую формулу, связывающую две функции, скажем u ( 0) (, t) и м 1 ( х, г), т г ким образом, что когда одна из них удовлетворяет эволюционному уравнению ( в общем случае нелинейному), то этому же уравнению удовлетворяет и другая функция. В дифференциальной геометрии такие преобразования были введены давно, и в ней они получили свое название. Здесь мы схематически покажем, как в связи с методом спектрального преобразования для решения нелинейных эволюционных уравнений ( 1.2. - 1) естественным образом появляется класс преобразований Бэклунда для решения этих уравнений. Наша цель в том, чтобы изложить основную идею, а более детально данный вопрос будет рассмотрен в гл. [9]
Другим важным свойством системы является существование преобразований Бэклунда. Примененные к системе синус - Гордона [25, 224 ] эти преобразования дают способ получения Af-солитон-ных решений из решений с меньшим числом солитонов. Более того, в данном методе требуется решать дифференциальные уравнения не второго порядка, а первого. [10]
Повторим еще раз, что с помощью преобразования Бэклунда можно получать как регулярные, так и сингулярные решения. Это зависит от выбора константы интегрирования. [11]
Зв) Применяя к решению фо О преобразование Бэклунда дважды ( с различными комплексными а-параметрами), найти действительные зависящие от времени решения уравнения синус - Гордона. Проверить, что это действительно решения, прямой подстановкой в уравнение синус - Гордона. [12]
Более сложное, чем ( 15), преобразование Бэклунда получается, если функции g и h не есть константы. [13]
Такое заключение нетривиально, если учесть нелинейный характер преобразования Бэклунда. Иначе говоря, преобразования Бэклунда коммутируют ( см. графическое представление этого утверждения в гл. Более точная формулировка, основанная на только что проведенном анализе, может быть изложена следующим образом. [14]
Это отображение содержит информацию, нужную для изучения преобразований Бэклунда и солитонов. [15]