Cтраница 3
Еще одно замечательное свойство класса эволюционных уравнений ( 1.2. - 1) является прямым следствием указанного в предыдущем пункте свойства коммутативности, примененного к простейшему преобразованию Бэклунда ( 1.7. А. [31]
Таким образом, при подобном подходе бесконечная последовательность сохраняющихся величин уравнения КдВ ассоциируется с бесконечной последовательностью симметрии этого эволюционного уравнения ( см., например, [385]), которые соответствуют преобразованиям Бэклунда, описанным в гл. [32]
Пусть функция w ( Q) ( x, t) является некоторым решением уравнения ( 1.2. - 1), Функции Jx) ( jc, t) и м / 2) ( я, t) - решения уравнения ( 1.2. - 1), связанные с функцией w ( Q) ( x, t) преобразованием Бэклунда ( 1.7. А. [33]
Однако и он, и Ли всегда требовали, чтобы соответствующие продолжения были связаны с геометрическими преобразованиями некоторого конечномерного пространства струй. Бэклунд заключает, что такие преобразования - это лишь продолжения обычных точечных преобразований или контактных преобразований Ли. [34]
Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше, хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием Бэклунда ( ПБ), которое используется в наших целях, называется любое преобразование, которое порождает локально новые решения уравнений автодуальности из старых. Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными связанными уравнениями в частных производных, ПБ может быть весьма полезным, если только известны тривиальные решения. [35]
Такое заключение нетривиально, если учесть нелинейный характер преобразования Бэклунда. Иначе говоря, преобразования Бэклунда коммутируют ( см. графическое представление этого утверждения в гл. Более точная формулировка, основанная на только что проведенном анализе, может быть изложена следующим образом. [36]
Конструкция АУ требует явной параметризации матрицы У и потому нарушает явную калибровочную инвариантность. Недавно было найдено новое преобразование Бэклунда непосредственно в терминах калибровочно инвариантной матрицы У, которое мы здесь опишем. [37]
Для построения более общих решений уравнения ( 5) в бесконечной линии был предложен ряд весьма мощных методов. Самый старый из них - преобразо - вание Бэклунда - приводит к уравнениям, которые по какому-либо известному решению уравнения ( 5) позволяют найти новое, более сложное решение, содержащее произвольный параметр. [38]
Новым, однако, является то, что преобразование Бэклунда отображает решение u2) ( x, t) уравнения ( 1), принадлежащее классу, определяемому формулами ( 2) - ( 4), в решение и1 (, t), не принад-лежашее этому классу. [39]
Условия того и другого одинаковы: функция f ( u) должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Этот результат работы [44] указывает на то, что и преобразования Бэклунда и солитоны представляют собой исключительные структуры. [40]
Некоторые авторы ошибочно относят введение этих симметрии к работам Ли и Бэклуида и дают им вводящее в заблуждение название преобразований Ли - Бэклунда. В частности, это не то же самое, что настоящие преобразования Бэклунда, которые не обладают групповыми свойствами. Мы выбрали термин обобщенная симметрия, а не преобразование Нетер, поскольку последний уже приобрел несколько других значений в контексте вариационных задач. Более полное обсуждение любопытной истории этих симметрии проводится в замечаниях в конце этой главы. [41]
Причиной возрождения здесь явилось осознание того обстоятельства, что солитоны связаны с существованием структуры Бэклунда ( для уравнений Кортеве-га - де Вриза, синус-уравнения Гордона и пр. Можно даже предположить, что дифференциальные уравнения допускают солитоноподобные решения тогда и только тогда, когда они допускают преобразования Бэклунда. [42]
Чтобы построить радиационную функцию Грина для двухфлюксонного решения, мы еще раз применим преобразование Бэклунда, на этот раз взяв в качестве известного решения одиночный флюксон плюс излучение. Задача облегчается тем, что на более высоких уровнях иерархии солитонов явный вид решения можно получить алгебраически, используя коммутативность преобразования Бэклунда. [43]
Модель О ( 3) интересна также в ( 1 1) измерениях. Было показано [237, 281], что модель О ( 3) в ( 1 1) измерениях так же, как и система синус - Гордона, характеризуется наличием бесконечного числа сохраняющихся величин и преобразований Бэклунда, генерирующих решения. Этот последний результат обсуждается в одной из последующих глав. Статические решения в ( 2 1) измерениях справедливы и для модели в ( 1 1) измерениях. В последней они существуют как инстантоны ( гл. Кроме того, такая О ( З) - модель и ее решения применяются в статистической теории изотропного ферромагнетика ( разд. [44]
Здесь мы прибегнем к другому методу, основанному на преобразовании Бэклунда; этот метод, как нам кажется, имеет два преимущества. Во-первых, в нем используется лежащая в основе нашего метода идея о том, что составляющие ядер ( L), JF ( U) можно получить дифференцированием решения нулевого приближения по свободным параметрам. Во-вторых, для применения преобразования Бэклунда нужно меньше предварительной информации, чем при методе обратной задачи рассеяния. [45]