Cтраница 2
В случае дифференциального уравнения второго порядка в частных производных преобразование Бэклунда состоит в его замене двумя дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных, связывающими решение данного уравнения с другим решением того же уравнения или с решением другого уравнения второго порядка. [16]
Здесь мы прибегнем к другому методу, основанному на преобразовании Бэклунда; этот метод, как нам кажется, имеет два преимущества. Во-первых, в нем используется лежащая в основе нашего метода идея о том, что составляющие ядер ( L), JF ( U) можно получить дифференцированием решения нулевого приближения по свободным параметрам. Во-вторых, для применения преобразования Бэклунда нужно меньше предварительной информации, чем при методе обратной задачи рассеяния. [17]
Теперь легко получить важное следствие, вытекающее из соотношения коммутативности ( 20) преобразований Бэклунда. [18]
Причиной возрождения здесь явилось осознание того обстоятельства, что солитоны связаны с существованием структуры Бэклунда ( для уравнений Кортеве-га - де Вриза, синус-уравнения Гордона и пр. Можно даже предположить, что дифференциальные уравнения допускают солитоноподобные решения тогда и только тогда, когда они допускают преобразования Бэклунда. [19]
Чтобы построить радиационную функцию Грина для двухфлюксонного решения, мы еще раз применим преобразование Бэклунда, на этот раз взяв в качестве известного решения одиночный флюксон плюс излучение. Задача облегчается тем, что на более высоких уровнях иерархии солитонов явный вид решения можно получить алгебраически, используя коммутативность преобразования Бэклунда. [20]
Благодаря произвольности полиномов § и А формула ( 6) дает широкий класс преобразований Бэклунда. Простейшее из них соответствует случаю постоянных и А; если для удобства обозначений положить ( см. гл. [21]
Мы завершим это дополнение тем, что покажем, как величины аир связаны с преобразованием Бэклунда, добавляющим одно новое дискретное собственное значение к спектральным данным. [22]
Вследствие этого оно обладает всеми атрибутами рассмотренных выше разрешимых уравнений: бесконечным числом законов сохранения, преобразованиями Бэклунда, солитонами. [23]
Этот вывод был сделан при исследовании ( значительно более простых, чем в х-пространстве) результатов преобразований Бэклунда в пространстве спектральных данных. При этом подразумевалось, что рассматриваемые функции принадлежат классу BF-потенциалов и, следовательно, их спектральные данные определены. В то же время совершенно очевидно, что рассматриваемое свойство коммутативности выполняется и при таком расширении класса потенциалов. [24]
Он включает краткий исторический обзор с полной библиографией ранних исследований [ 290], в том числе первые работы Бэклунда и Дарбу. [25]
Это решение уравнений поля ф ( которое, разумеется, зависит от выбора исходного решения фо) называют преобразованием Бэклунда решения фо. [26]
В этом частном случае, которым мы и займемся ниже, существует альтернативный способ построения функции Грина - с помощью преобразования Бэклунда. Такой вывод требует лишь минимального использова ния теории рассеяния; он имеет и другие преимущества, которые станут ясны из дальнейшего изложения. [27]
Техника вронскианов оказывается также достаточно гибкой, чтобы можно было развить для уравнения Кортевега - де Вриза и его аналогов теорию преобразований Бэклунда и Дарбу, дать компактные формулы для законов сохранения и построить для найденных уравнений гамильтоновский формализм. Последнему пункту, на наш взгляд, в монографии уделяется недостаточное внимание. [28]
Теперь солитоны тоже можно рационально объяснить на основе идей, связанных с обратной задачей рассеяния, являющейся глобальным феноменом в отличие от преобразований Бэклунда, которые локальны. [29]
Тогда, если функция и ( х, t) тоже удовлетворяет уравнению ( 1), соотношение ( 2) называется преобразованием Бэклунда. [30]