Cтраница 4
Образно говоря, преобразование Бэклунда позволяет добавить солитон к известному решению синус-уравнения Гордона. Применив к этому ва куумному состоянию преобразование Бэклунда, получим чистый флюксон. Следующее преобразование дает чисто двухсолитонное решение: либо дублет, либо бри-зер, в зависимости от выбора параметров. Действуя таким образом, мы путем N М 2L преобразований Бэклунда получим чисто многосолитонное решение общего вида, состоящее из N М 2L солитонов. [46]
Поскольку det / - 1, то невозможно получить 5 ( 7 ( 2) - калибровочные поля. Эта проблема аналогична уравнению (8.2.13) для конструкции АУ. Как в последней, чтобы получить det J 1, нужно четное число раз применить к уравнениям (8.3.1) и (8.3.2) преобразование Бэклунда. К сожалению, проблема особенностей, связанная с конструкцией АУ, в новой конструкции, по-видимому, также оказывается неразрешимой. [47]
Следовательно, мы определяем здесь преобразование Бэклунда как любую формулу, связывающую две функции, скажем u ( 0) (, t) и м 1 ( х, г), т г ким образом, что когда одна из них удовлетворяет эволюционному уравнению ( в общем случае нелинейному), то этому же уравнению удовлетворяет и другая функция. В дифференциальной геометрии такие преобразования были введены давно, и в ней они получили свое название. Здесь мы схематически покажем, как в связи с методом спектрального преобразования для решения нелинейных эволюционных уравнений ( 1.2. - 1) естественным образом появляется класс преобразований Бэклунда для решения этих уравнений. Наша цель в том, чтобы изложить основную идею, а более детально данный вопрос будет рассмотрен в гл. [48]
Другим важным свойством введенных выше преобразований Бэклунда является их коммутативность. В простейшем варианте, рассматриваемом в данном пункте параграфа, это свойство достаточно очевидно. В качестве исходного пункта возьмем некоторую заданную функцию и ( 0) ( я) и связанные с ней две функции, скажем и ( х) и и ( х), полученные из нее посредством этих двух преобразований Бэклунда. [49]
Однако и он, и Ли всегда требовали, чтобы соответствующие продолжения были связаны с геометрическими преобразованиями некоторого конечномерного пространства струй. Бэклунд заключает, что такие преобразования - это лишь продолжения обычных точечных преобразований или контактных преобразований Ли. Существенно, что Бэклунд требует, чтобы его преобразования зависели лишь от конечного числа производных от зависимых переменных, тогда как для истинных обобщенных симметрии это верно после перехода к инфи-нитезимальным образующим ( которые Бэклунд никогда не рассматривал); групповые преобразования, которые определяются решениями соответствующего эволюционного уравнения (5.14), существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных в одной точке. [50]