Cтраница 1
Построение геометрии над определенным полем обосновывается путем применения понятий теоретико-множественного характера. [1]
Построение геометрии с учетом выполнения всех этих пунктов называется аксиоматическим. [2]
Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей Эрлангенской программе и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем Введении в высшую геометрию, является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики. Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним второй том, который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки. Его место заняла третья часть настоящей книги, в которой изложены некоторые новейшие геометрические исследования. [3]
Задача построения геометрии без наперед заданного аппарата прямых линий и соответствующей им евклидовой системы аксиом и теорем отнюдь не так невероятна, как может показаться на первый взгляд. Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающего. Теодолиты для нашего землемера бесполезны; по сути дела, ему приходится рассчитывать только на измерительную рулетку. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы. [4]
Сама возможность независимого построения геометрии и хронометрии при классическом миропонимании возникла именно потому, что такое миропонимание исходит из предположения о независимости течения времени от свойств пространства. Разумеется, это очень сильное и, вообще говоря, необязательное предположение; например, релятивистская кинематика специальной теории относительности основана на утверждении о взаимосвязи времени и пространства, а при этом раздельное построение геометрии и хронометрии оказывается невозможным. [5]
Он показал возможность построения непротиворечивой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, положив тем самым начало ряду последовавших затем работ по неевклидовым геометриям. При этом он также выдвинул идею о том, что геометрия реального мира, возможно, и не является евклидовой. [6]
Следующий этап в построении геометрии состоит в расширении аппарата путем привлечения средств других разделов математики, в первую очередь, алгебры и математического анализа. Делается это так: вводится система координат, в результате чего каждая точка описывается набором чисел, а геометрические фигуры - уравнениями и неравенствами. Благодаря этому изучение геометрических объектов может быть в ряде случаев сведено к изучению уравнений. Изучение же свойств уравнений осуществляется методами алгебры и математического анализа. [7]
Намеченное в таком виде построение геометрии является, пожалуй, теоретически самым простым, так как оно оперирует вначале ( для проективной геометрии) исключительно линейными образами и лишь в дальнейшем, когда это становится необходимым для метрической геометрии, привлекает квадратичный образ - окружность сфер. Но зато осуществление этого плана оказывается довольно абстрактным и длинным и может найти место только в специальном курсе лекций по проективной геометрии. [8]
Теперь мы рассмотрим подробнее начало евклидова построения геометрии, которое зиждется на этих определениях, постулатах и аксиомах, а именно, первые четыре параграфа, которые следуют за аксиомами. При этом мы сможем одновременно сделать интересные наблюдения относительно понимания Евклидом основ, в частности по вопросу о его отношении к идее движения. [9]
Гауссова теория поверхностей представляет собой метод построения геометрии, к которому можно применить выражение теория близкодействия - термин, заимствованный из физики. Исходным моментом такого подхода служат не законы поверхности в большом масштабе, но дифференциальные свойства поверхности ( свойства в малом): метрические коэффициенты и инварианты, образованные из них, и прежде всего мера кри-визны. Форму поверхности и ее геометрические свойства в целом можно определить в этом случае последовательными вычислениями, механизм которых весьма сходен с процедурой решения дифференциальных уравнений в физике. Евклидова геометрия в отличие от гауссовой являет собой типичную теорию действия на расстоянии. Именно поэтому новая физика, построенная исключительно на понятиях близкодействия, на представлении о поле, нашла евклидову схему недостаточной и вынуждена была выбрать новые пути в духе Гаусса. [10]
В чем заключается суть аксиоматического метода построения геометрии. [11]
На этом мы заканчиваем краткий очерк построения геометрии Лобачевского в проективной форме. [12]
В позднейших работах, развивая идею построения статистической геометрии, Бернал [5] переходит к моделированию структуры простейших жидкостей при помощи стальных шаров, жестко скрепленных между собой и образующих различные характерные фигуры. Измеряя расстояния между тысячами таких шаров и обрабатывая данные машинными методами, он приходит к выводу о необходимости введения наряду с функцией радиального распределения еще функции координатного распределения чисел контактов, причем находит, что для жестких шаров координационное число 12 не реализуется вообще, ичто это число представляет собой переменную величину. [13]
В позднейших работах, развивая идею построения статистической геометрии, Верная [5] переходит к моделированию структуры простейших жидкостей при помощи стальных шаров, жестко скрепленных между собой и образующих различные характерные фигуры. Измеряя расстояния между тысячами таких шаров и обрабатывая данные машинными методами, он приходит к выводу о необходимости введения наряду с функцией радиального распределения еще функции координатного распределения чисел контактов, причем находит, что для жестких шаров координационное число 12 не реализуется вообще, и что это число представляет собой переменную величину. [14]
По поводу кратко очерченного здесь дедуктивного метода построения геометрии см., например, статью Р а-шевского Геометрия и ее аксиоматика, сборник Математическое просвещение, вып. [15]