Построение - геометрия
Cтраница 2
На этом я покидаю наш первый способ построения геометрии, который характеризуется тем, что мы на первое место выдвинули существование и расчленение трехпараметрической группы движений и вслед за тем сразу же ввели координаты, чтобы в дальнейшем иметь возможность перевести наши рассуждения целиком в область арифметики. Этому построению в известной мере противостоит другой способ обоснования геометрии; он тоже приводит непосредственно к метрической геометрии, и с давних пор играл большую роль, поэтому я хочу остановиться и на нем подробнее. [16]
В главе шестой мы видели, что возможность построения геометрий, отличных от евклидовой, является не чисто теоретическим предположением, но может иметь важное значение в физике. Процедура, которую мы только что описали, открывает путь к построению других геометрических систем. Почему мы должны были объявить исключенными точки некоторой прямой. [17]
Аналогично тому, как это делалось им при построении геометрии Финслера [10], пространство с ( в общем случае) неполной шперареальной - метрикой изучается на основе систематического использования понятия индикатрисы. [18]
Геометрия Лобачевского в проективной форме - дополнен краткими сведениями о возможности построения геометрии Римана путем задания на проективной плоскости мнимого абсолюта. [19]
Изучение неархимедовых величин), применяемых, в частности, в качестве координат для построения неархимедовой геометрии 148), имеет целью более глубокое проникновение в сущность тех положений, которыми устанавливается непрерывность, и принадлежит к обширной группе исследований о логической зависимости различных аксиом обыкновенной геометрии и арифметики; с этой целью1 обыкновенно строят такую искусственную числовую систему, в которой имеет место только часть всех аксиом, и из этого заключают о логической независимости прочих аксиом от первых. [20]
Один из пу-тей, органически включающий в теорию тяготения результаты экспериментов Этвеша, состоит в таком построении геометрии пространства, чтобы траекториями движущейся материи были геодезические линии в пространственно-временном континууме. Именно на этом пути для описания тяготения привлекается неевклидова риманова геометрия. Конечно, это не единственный вариант, который можно было бы выбрать. [21]
Наконец, мы должны также поговорить о понятии площади, которым нам до сих пор при нашем построении геометрии совершенно не приходилось еще пользоваться. Однако это понятие содержится, хотя в более или менее неточной форме, в наивном пространственном сознании каждого человека; всякий крестьянин знает, что означает фраза: участок земли имеет площадь столько-то квадратных метров. Поэтому, если мы полностью обосновали геометрию - и это действительно сделано в предшествующем, - не пользуясь этим основным понятием, то мы должны его все же присоединить теперь задним числом к нашей системе, другими словами, выразить его в координатах. [22]
Речь идет о выпадах Дюринга против идей великого немецкого математика К. Ф. Гаусса относительно построения неэвклидовой геометрии, в особенности - относительно построения геометрии многомерного пространства. [23]
 |
Геометрия основного сечения корреляционной функции плоскостью xOx - i при изотропном ( а и анизотропном ( одноосном вдоль оси п ( б разупорядочении волокон. [24] |
Результаты расчета для изотропной разупорядоченности волокон в трансверсальной плоскости при значениях степени разупорядоченности k k % 1 представлены на рис. 2.10. На рис. 2.11 приведены результаты построения геометрии основного сечения корреляционной функции & ( х) плоскостью xiOxz, т.е. множество минимально удаленных от начала координат ( х 0) точек х, в которых функция & ( х) равна нулю. Вид этого сечения является важной характеристикой анизотропии разупорядоченности структуры. [25]
Лежандр, так же как Гаусс, Лобачевский и Бояи, беспрестанно занимался теорией параллельных, но в отличие от них не пришел к дерзкой мысли о возможности построения непротиворечивой геометрии, основанной на отрицании аксиомы параллельности, а до конца жизни не оставлял попыток найти доказательство пятого постулата Евклида. В каждом почти издании своих начал геометрии Лежандр помещал новое доказательство евклидова постулата, но внимательный анализ показывал, что оно опиралось на совершенно очевидное, явно не высказанное предположение, которое эквивалентно пятому постулату. [26]
Если не считать указанного этим существенного отклонения, то система аксиом Гильберта примыкает по существу к тому же ходу построения элементарной геометрии, которому мы тоже следовали при нашем втором построении геометрии. [27]
Геометрия может быть, таким образом, многообразна. Построение геометрии требует прежде всего установления множества, которое служит ее субстратом. Дальнейший путь может быть двояким. Можно установить группу отображений или преобразований этого множества, которой определяется его геометрия; это установка Клейна и Ли. [28]
Построение геометрии указанных пространств для п измерений проводится по аналогии со случаем трех измерений. [29]
Математическим понятием, с которым оперируют как квантовая механика, так и теория представлений групп, является понятие многомерного аффинного, или унитарного пространства. Без сомнения для построения геометрии такого пространства наиболее удобен аксиоматический метод, но ради ясности я сначала буду следовать чисто алгебраическим путем. [30]
Страницы: 1 2 3 4