Cтраница 3
Заметим также, что здесь кратчайшим расстоянием между точками А и В является не отрезок прямой, а дуга некоторой кривой - а это тоже отличает геометрию данного пространства от евклидовой. Он показал возможность построения непротиворечивой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, положив тем самым начало ряду последовавших затем работ по неевклидовым геометриям. При этом он также выдвинул идею о том, что геометрия реального мира, возможно, и не является евклидовой. [31]
В результате этих соображений можно аналитически развивать геометрию, принимая за основные переменные либо х, у, z, либо и, v, w; при этом слова точка и плоскость просто переставляются. Таким образом, возникает известное двойственное построение геометрии, которое во многих учебниках наглядно выражается тем, что на левой и правой половинах страницы помещаются взаимные теоремы. [32]
Редуцированные фигуры соответственно подобны действительным фигурам. Эта теорема значительно упрощает многие важные построения прикладной геометрии и механики. [33]
Специфическим методом построения развитой теории является аксиоматический метод. Впервые он был применен в математике при построении геометрии Евклида, а затем, в ходе исторического развития знаний, стал применяться и в эмпирических науках. Однако здесь аксиоматический метод выступает в особой форме гипотетико-дедуктивного метода построения теории. Рассмотрим, в чем состоит сущность каждого из названных методов. [34]
Базируясь на этом, он дал полное, логически строгое построение геометрии по форме, в высшей степени совершенное и с точки зрения современной науки. [35]
Таким образом, используемый метод должен состоять в построении геометрии из класса 3-транспозиций, на которой группа G будет действовать как группа автоморфизмов, с последующим определением всех возможностей для группы G на основе свойств этой геометрии. [36]
Геометрия, как и другие разделы математики, строится так: сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем из них выводятся логические следствия - теоремы. Таким образом, на этом ( первом) этапе построение геометрии ведется исключительно на базе собственных средств - аксиом и ранее доказанных теорем. Эта часть геометрии называется элементарной геометрией. [37]
Идея формальной системы - это идея, которая развилась из построения геометрии Евклидом, но это понятие значительно развилось за последнее столетие. [38]
Я не могу утверждать, что описываемое здесь восприятие геометрии является новым. Наоборот, математики и дидакты давно уже подымали голос за такое построение геометрии - против дедуктивного. Я упомяну лишь о замечательных Элементах геометрии Клеро издания 1741 г. В Голландии такое построение геометрии пропагандировала в своих работах 20 - х гг. Татьяна Афанасьева - Эренфест1, сотрудница и супруга знаменитого физика Пауля Эрен-феста. Ее Сборник упражнений для геометрической пропедевтики, изданный в Гааге в 1931 г., и поныне может служить сокровищницей геометрических упражнений. Ее идеи не распространились широко, но их воздействие оказалось длительным. [39]
По программе, действующей в настоящее время, этот материал не входит ни в один математический курс. Тем не менее этот материал актуален не только с точки зрения логических принципов построения геометрии, но и для понимания ряда разделов современной физики. [40]
В композитах с матами из случайно расположенных волокон нарушение связи может произойти в местах пересечения волокон и таким образом механически устранится взаимопроникание волокон. Для таких композитов, как бумага, которая также попадает под эту категорию, требуется построение специальной статистической геометрии, которая была рассмотрена Каллмесом, Кортом и их еоавт. Предпринимались некоторые слабые попытки описать статистику процессов разрушения таких матов ( см., например, [9]), но пока еще она недостаточно изучена, чтобы можно было понять изменчивость и масштабный эффект прочности, если последний существует для этих материалов. Вследствие неполного понимания развития процессов разрушения в таких материалах часто лучше всего вести рассмотрение на основе подхода механики раз-рушения, описанного Тетельманом [35], и исследовать статистические эффекты докритического роста трещины феноменологически, как было рассмотрено выше в данном разделе. [41]
Правдоподобнее всего гипотеза, что покоящиеся в статическом поле часы измеряют интеграл от нормированного таким; образом ds; и в моей, и в эйнштейновской теории еще не решена задача вывести это положение 1) из динамики, сформулированной в явном виде. Нужно учитывать, что математически идеальный процесс переноса вектора, который должен быть положен в основу математического построения геометрии, не имеет никакого отношения к реальному процессу движения часов, ход которых определяется законами природы. [42]
Конечно, изучение алгебраической структуры операций может быть проиллюстрировано на прямой; но при этом не должна затрагиваться геометрия плоскости. Следует совершенно исключить обращение к исчислению отрезков, использующему в применении к отрезкам прямых ( числам) развернутые построения геометрии плоскости: параллельные, секущие, иногда даже перпендикуляры. [43]
В понимании пространства, времени, движения, инерции он предвосхитил нек-рые идеи теории относительности, указывал на возможность построения геометрии, отличной от эвклидовой. [44]
Аналитическое построение геометрии, не зависящее от какой-либо специальной системы отсчета, является лишь одним из достоинств римановой геометрии. Более фундаментальным открытием Римана является то, что определение (1.5.7) линейного элемента образует не только новый, но и гораздо более общий базис для построения геометрии, чем старый базис евклидовых постулатов. Только в том случае, когда g / k принадлежат к некоторому определенному классу функций, получается геометрия евклидова типа. [45]