Cтраница 2
Усилия геометров в течение ряда веков были направлены на то, чтобы доказать или самый постулат Евклида, или предложение, ему равносильное. Приведем здесь для иллюстрации несколько таких доказательств. [16]
Действительно, если принять это положение как аксиому, то из теорем, доказанных в планиметрии, непосредственно вытекает постулат Евклида. Другим предложением, равносильным постулату Евклида, является теорема о сумме углов треугольника. [17]
Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию, столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. [18]
Евклидом ( жившим в III веке до нашей эры) в его Началах геометрии без доказательства как аксиома параллельных линий, и потому оно известно под именем постулата Евклида. [19]
Знаменательно, что закон (76.3) сложения скоростей около 150 лет тому назад был исследован гениальным русским геометром Я. И. Лобачевским, доказавшим возможность логически непротиворечивого построения новой геометрии, в которой уже не выполняется постулат Евклида о параллельных. Тот удивительный факт, что законы абстрактной геометрии Лобачевского приложимы к физическому пространству скоростей в теории относительности, является еще одним подтверждением тесной рзаимосвязи геометрии н физики: если в физике оказываются чрезвычайно плодотворными геометрические построения, то и сама геометрия нуждается в физическом обосновании. [20]
Знаменательно, что закон (76.3) сложения векторов около 150 лет тому назад был исследован гениальным русским геометром Я. И. Лобачевским, доказавшим возможность логически непротиворечивого построения новой геометрии, в которой уже не выполняется постулат Евклида о параллельных. [21]
Действительно, если принять это положение как аксиому, то из теорем, доказанных в планиметрии, непосредственно вытекает постулат Евклида. Другим предложением, равносильным постулату Евклида, является теорема о сумме углов треугольника. [22]
В это время он стал рассматривать постулат Евклида как независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию, основанную на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую плоскости. [23]
Сейчас, когда мы знакомы с неевклидовой геометрией и теорией относительности Эйнштейна, покров таинственности с аксиомы Евклида о параллельных снят. Мы теперь знаем, что она независима от остальных постулатов Евклида, тогда как для философа Канта геометрия без этой аксиомы была немыслима. [24]
Метрическое евклидово пространство может быть построено аксиоматически таким образом, чтобы понятие параллелизма было введено не с самого начала. Тогда можно обнаружить не искусственный, а упрощающий характер постулата Евклида. [25]
Такое предположение само составляет некоторое допущение. Подробное изучение этого допущения показывает, что оно равносильно постулату Евклида. [26]
Казанского университета Николай Иванович Лобачевский высказал смелую мысль, что постулат Евклида не является логическим следствием остальных аксиом геометрии и потому не может быть доказан, и что принятие этого постулата не является необходимым для построения геометрии. [27]
Знаменитая гипотеза континуума ( как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было до казано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову. [28]
Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно объективно истинный V постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логич. [29]
Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно объективно истинный V постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чистр логич. [30]