Cтраница 4
Из трех предположений о величинах углов при вершинах С и D: либо углы прямые, либо углы тупые, либо острые, первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с др. аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Дж. Саккери пришел к ошибочному выводу, что она противоречит др. аксиомам и постулатам Евклида. [46]
Сумма внутренних двугранных углов этого триэдра всегда равна 2d, независимо от того, понимаем ли мы параллелизм в евклидовом и ли в более общем его определении в воображаемой геометрии. И это имеет не только принципиальное, но и решающее значение: если представим себе поверхность, ортогонально секущую все лучи связки параллелей, и на ней будем разуметь под геодезическими сечения ее плоскостями, проходящими через лучи этой связки, то на ней сумма внутренних углов геодезического треугольника всегда равна двум прямым. Именно эту поверхность Лобачевский называет предельной поверхностью; формулированное выше предложение устанавливает, что на предельной поверхности сумма внутренних углов геодезического треугольника равна двум прямым; а это ведет к тому, что на предельной поверхности, независимо от того, принимаем ли мы на плоскости постулат Евклида или Лобачевского, всегда имеет место вся планиметрия Евклида. Значение этого факта уже достаточно было выяснено в главе XV ( стр. [47]
В самом деле, если геометрия Лобачевского логически так же правильна, как и геометрия Евклида, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одинаково совместны как V постулат, так и противоположное ему допущение. Иначе говоря, ни V постулат Евклида, ни постулат Лобачевского не представляют собой следствия из остальных постулатов, ни тот, ни другой не могут быть доказаны; приобщая к остальным постулатам V постулат Евклида, мы получаем геометрию Евклида ( параболическую геометрию), а приобщая постулат Лобачевского, мы получаем созданную им ( гиперболическую) геометрию. Чтобы получить геометрию Римана ( в узком смысле этого слова, эллиптическую геометрию), приходится внести еще и другие изменения во всю аксиоматику Евклида. [48]
Ему, конечно, нельзя отказать в исключительном остроумии; но и оно все же страдает существенным недостатком, лишающим его доказательной силы. Именно, оно предполагает, что через точку D, лежащую внутри угла КАЕ, всегда можно провести прямую EF, встречающую обе стороны угла. А это есть допущение, эквивалентное постулату Евклида. И Лежандр, очевидно, сознавал, что в этом есть дефект. Это видно из следующего подстрочного примечания, помещенного в третьем издании. [49]