Cтраница 3
Но если наиболее осторожные комментаторы Евклида ограничивались тем, что заменяли постулат Евклида другим, ему эквивалентным, то другие шли дальше. Стремились логически вывести содержащееся в этом постулате утверждение из первых 28 предложений, строго говоря, следовательно, из остальных аксиом и постулатов Евклида: как обычно говорят, стремились доказать постулат о параллельных линиях. Трудно себе представить, сколько усилий было на это затрачено. [31]
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не выводима из остальных аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной тео-рпи, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. [32]
Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать, Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг - эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних. [33]
Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. [34]
По-видимому, аксиомы инцидентности I и аксиомы порядка II должны фигурировать во всякой разумной аксиоматике плоскости. Я прошу обратить внимание на аксиому инцидентности 1ь, которая утверждает, что через любую точку проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна. В постулате Евклида утверждается единственность параллельной; существование же ее может быть доказано с помощью других аксиом. Я полагаю, что объединение в одной аксиоме утверждений о существовании и единственности чрезвычайно упрощает построение геометрии и что, с другой стороны, очень немногие дети моложе 16 лет могут почувствовать доказательство существования, поскольку существование параллельных представляется им по крайней мере столь же экспериментально ясным, как и единственность. [35]
Некоторые философы полагали, что достоверность всего человеческого знания можно доказать путем выведения его из небольшого числа всеобщих положений, истинность которых самоочевидна в силу их ясности и отчетливости; противоречие им просто немыслимо. Самоочевидным был V постулат Евклида, и, казалось, противоречие ему немыслимо. Лобачевский исходил в своей новой геометрии именно из этого положения, которое противоречило V постулату Евклида, и тем самым достиг объективно-истинного знания об окружающем нас пространстве. [36]
Рассуждение кажется безукоризненным; но оно предполагает, что каждому треугольнику отвечает подобный ему треугольник при любом отношении подобия. Валлис это постулирует, четко это оговаривая. Но такое допущение не только эквивалентно постулату Евклида, а даже избыточно: достаточно принять, что на плоскости существуют какие-либо два подобных треугольника, и из этого допущения вытечет постулат о параллельных, а с ним вся евклидова геометрия. [37]
Где же коренится источник этой логической невыдержанности. Вне всякого сомнения, он кроется в слабости той исходной базы, на которой покоится все построение Начал. На критике исходных определений, аксиом и постулатов Евклида сосредоточено главным образом внимание комментаторов. Благодаря их анализу стало совершенно ясно, что этот фундамент слаб, что крепкое здание геометрии поддерживается еще другими основаниями, не получившими выражения в аксиоматике Евклида. Отсюда прежде всего возникает стремление эти дефекты исправить, укрепить опорные камни, на которых покоится геометрия, добавить новые. Комментаторы строго критиковали исходные определения Евклида, но очень редко заменяли их более удачными, более надежными. [38]
Одновременно к этому же открытию пришли венгерский геометр Янош Бойяи ( 1802 - 1860) и великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс ( 1777 - 1855); Бойяи опубликовал свое открытие в 1831 г., а заметки Гаусса были напечатаны только после его смерти. Сущность этого открытия состояла в отказе от постулата Евклида о параллельных и создании новой геометрии, столь же непротиворечивой, как евклидова, и близкой к ней в малых участках. В геометрии же Лобачевского имеет место утверждение, что через точку вне прямой в их плоскости можно провести более одной прямой, не пересекающей данной; проведенные таким образом прямые заполняют некоторый угол, граничные прямые которого называются параллельными данной прямой, а внутренние прямые - расходящимися с данной прямой. Тот факт, что евклидова геометрия хорошо согласуется с опытом, не решает вопроса: для малых участков земной поверхности согласуется с опытом и утверждение о том, что Земля плоская. Поэтому вопрос о том, какая геометрия имеет место в реальном мире, может быть решен экспериментально только для достаточно больших областей мирового пространства. Лобачевский предложил для этого измерить сумму углов треугольника с очень большими сторонами: в евклидовой геометрии эта сумма равна двум прямым углам, а в геометрии Лобачевского она меньше двух прямых. [39]
Знаменитый XI постулат из Элементов Евклида утверждает, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой. Лишь Гаусс, Лобачевский и Бойяи избрали другой путь, решив доказать, что XI постулат Евклида не зависит от остальных аксиом, изложенных в Элементах, и что, отказавшись от него ( заменив его отрицанием), мы получим иную, непротиворечивую геометрию - так называемую неевклидову геометрию. [40]
Итак, мы перечислили все основные законы термодинамики, разъяснив их и даже сделав некоторые выводы ка их основании. Однако исходные утверждения заключают в себе все возможные выводы. Эти четыре закона служат такой же основой для всех термодинамических соотношений, какой, например, являются постулаты Евклида в евклидовой геометрии или законы Ньютона в ньютоновской механике. Но в отличие от евклидовой геометрии и ньютоновской механики термодинамика в настоящее время, по-видимому, не является только лишь одной из нескольких систем постулатов, пригодных для изучения взаимосвязи материи и энергии. [41]
В стереометрии к абсолютной геометрии относятся разделы об определении положения плоскости ( в том числе основные свойства плоскости), о перпендикуляре и наклонных к плоскости, о двугранных и многогранных углах, об угле прямой с плоскостью. Предложения, заключающие понятие параллельности, связаны с указанной аксиомой. Далее, в X классе, все утверждения, содержащие понятие площади поверхности и объема, опираются на постулат Евклида. [42]
Точкой отправления все время служат доказательства постулата о параллельных линиях. Сначала эти доказательства носят наивный характер; потом они становятся все серьезнее в том смысле, что содержащаяся в них погрешность все глубже скрывается. По методу они распадаются, главным образом, на две категории: одни явно предпосылают допущение, эквивалентное постулату Евклида, другие ведут доказательство от противного; иными словами, делается допущение, противоположное постулату, и из него выводят следствия с целью притти к противоречию с установленными уже предложениями. Одни авторы при ходят к кажущемуся противоречию очень скоро, усматривая его в том, что выводы резко расходятся с интуицией, с указаниями глаза; но в этом нет логического противоречия с установленными уже предложениями. Другие тонко ведут свою дедукцию, приходят к выводам, которые можно рассматривать как начальные предложения неевклидовой геометрии. Далеко в этом направлении прошли Саккери и Ламберт; последний уже не впал в заблуждение и высказывает даже суждение, которое можно рассматривать как первое предвосхищение неевклидовой геометрии, как признание возможности, что Начала Евклида не должны считаться необходимой и единственной системой геометрии. Тверже на эту точку зрения становится Гаусс. Концепция неевклидовой геометрии ему уже ясна. [43]
В самом деле, если геометрия Лобачевского логически так же правильна, как и геометрия Евклида, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одинаково совместны как V постулат, так и противоположное ему допущение. Иначе говоря, ни V постулат Евклида, ни постулат Лобачевского не представляют собой следствия из остальных постулатов, ни тот, ни другой не могут быть доказаны; приобщая к остальным постулатам V постулат Евклида, мы получаем геометрию Евклида ( параболическую геометрию), а приобщая постулат Лобачевского, мы получаем созданную им ( гиперболическую) геометрию. Чтобы получить геометрию Римана ( в узком смысле этого слова, эллиптическую геометрию), приходится внести еще и другие изменения во всю аксиоматику Евклида. [44]
Из трех предположений о величинах углов при вершинах С и D: либо углы прямые, либо углы тупые, либо острые, первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с др. аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Дж. Саккери пришел к ошибочному выводу, что она противоречит др. аксиомам и постулатам Евклида. [45]