В-сплайн

Cтраница 3

Такую возможность предоставляют некоторые обобщения кубических В-сплайнов, а именно рациональные кубические В-сплайны и бета-сплайны, к описанию которых мы и обратимся. [31]

Некоторые авторы обозначают каждый подкусок как В-сплайн поверхность. В данном случае поверхность рассматривается как объект, заданный всей полигональной сеткой. [32]

Изображенная на рис. 6 - 42а В-сплайн поверхность, заданная четырьмя вершинами полигональной сетки в направлении и, плавно изогнута в этом направлении. [33]

Изображенная на рис. 6 - 426 В-сплайн поверхность задана пятью вершинами полигональной сетки в направлении и. [34]

На рис. 6 - 506 изображена В-сплайн поверхность, созданная по этой сетке. [35]

Таким образом, базисные функции рациональной В-сплайн поверхности и сами поверхности превращаются в их нерациональные эквиваленты. Следовательно, рациональные В-сплайн поверхности представляют соответственно обобщение нерациональных В-сплайн поверхностей и рациональных и нерациональных поверхностей Безье. [36]

Кубические кривые, построенные с помощью В-сплайнов, обладают некоторыми интересными геометрическими свойствами. Так как для любого нецелого значения и только четыре члена в (6.22) могут быть ненулевыми, то каждый отрезок кривой определяется четырьмя последовательными вершинами своей задающей ломаной. Согласно (6.23), коэффициенты при четырех соответствующих векторах в формуле (6.22) положительны и их сумма равна единице. Таким образом, г ( и) для любого и является средним взвешенным этих четырех векторов, и весь отрезок должен лежать внутри их выпуклой оболочки. Два двумерных случая приведены ниже на рис. 6.11. В трех измерениях выпуклая оболочка представляет из себя тетраэдр, определяемый четырьмя вершинами. Как объяснялось в 5.1.3, криволинейные сегменты Безье обладают подобным свойством. [37]

Рациональные В-сплайны - это четырехмерное обобщение нерациональных В-сплайнов; поэтому алгоритмы повышения степени ( работа [5-27] и пример 6 - 18), разбиения ( разд. В-сплайнов справедливы и для рациональных при распространении их на четырехмерное пространство. [38]

Отметим, что в отличие от нерационального В-сплайна из примера 5 - 16, при сохранении наклона равным наклону первого ребра значение производной теперь изменяется вдоль кривой. [39]

В связи с возникшим значительным интересом к В-сплайн поверхностям, разработан ряд значительных форматов файлов для обмена их описания. Еще один формат предложен в табл. D-1. Четырехмерные однородные координаты используются для обозначения определяемых точек прямоугольной сетки. Это позволяет объединить трехмерные физические позиции точек прямоугольной сетки и однородный координатный ( весовой) коэффициент в общем описании. Предлагаемый формат, вообще говоря, достаточен для управления рациональными однородными и неоднородными, периодическими и открытыми В-сплайн поверхностями. Нерациональные сплайны поверхностей определяются установкой всех однородных координатных коэффициентов ( весов) равными единице. Рациональные поверхности Безье определяются посредством однородных открытых связующих векторов в виде [ k нулей, k единиц ] с подходящими однородными координатными коэффициентами. Нерациональные поверхности Безье определяются с помощью соответствующих связующих векторов и установкой всех однородных координатных коэффициентов ( весов) равными единице. Составные поверхности определяются простым повторением полного описания для каждой поверхности. Заметим, что такой подход позволяет описывать различные типы В-сплайнов и поверхностей Безье в одном файле. Запятые должны быть проставлены, как показано в таблице. В файле допустимы пробелы и пустые строки. [40]

Кроме того, при аппроксимации с помощью В-сплайнов проявляется желательное свойство локальности. Шенберг, впервые исследовавший В-сплайны [118, 119], доказал, что они являются единственными ненулевыми сплайнами с минимальным носителем. [41]

Это более сильное условие, чем для нерационального В-сплайна, который инвариантен только относительно аффинного преобразования. [42]

Базисные функции открытого равномерного В-сплайна, [ X ] [ О О О 1 2 2 2 ], fc 3, n l 4. [43]

В результате мы имеем кубическую кривую Безье - В-сплайн. На рис. 5 - 37 приведен еще один пример открытых базисных функций. [44]

Как было показано ранее, конец и начало периодического В-сплайна не совпадают с первой и последней вершинами определяющего многоугольника. Отсюда возникают два вопроса. Во-первых, где же именно начинается и заканчивается В-сплайн, и каковы его граничные условия, т.е. производные в этих точках. Во-вторых, что влияет на конечные точки и производные в них. В работе [5-24] изучается этот вопрос для частного случая кубических ( k 4) В-сплайнов. Мы рассмотрим более общий случай. [45]

Страницы: 1 2 3 4