Cтраница 2
Предположим, что / С - предмногообразие алгебр сигнатуры Т и М - класс 7-алгебр, содержащийся в К. [16]
Прежде, чем разбирать общий случай произвольных предмногообразий X, У, мы рассмотрим неприводимые предмногообразия. Чтобы снабдить декартово произведение X X У структурой предмногообразия, необходимо задать топологию и покрытие аффинными открытыми множествами. Для всех аффинных открытых множеств V d У, U a X и всех конечных множеств полиномиальных функций fi на U и gi на V главные открытые множества ( U X Ю2 следует принять в качестве базисных открытых множеств в X X У. Заметим, что эти множества действительно образуют базис для некоторой топологии, так как пересечение двух таких множеств есть некоторое другое множество такого же типа. [17]
Открытые множества Ui называются аффинными открытыми подмножествами предмногообразия X. Мы также называем так любое открытое подмножество предмногообразия X, которое с индуцированным на нем пучком функций изоморфно аффинному многообразию. [18]
Таким образом, если А - конечная алгебра, то предмногообразие E ( J ( SUA), порожденное А, локально конечно. Существуют локально конечные предмногообразия, не порождаемые никакой своей конечной алгеброй. [19]
Нетрудно заметить также, что каждое квазимногообразие групп [10] является всегда предмногообразием, но не наоборот. [20]
Отметим далее, что наряду с многообразиями и вербалами иногда полезно рассматривать предмногообразия и пред-верба лы, определяемые следующим образом. [21]
На произвольном проективном многообразии X а Ря может быть задана индуцированная структура предмногообразия. Это справедливо также для открытых или замкнутых подмножеств любого предмногообразия ввиду следующего. Пусть, скажем, ( X, Ох) - неприводимое йредмногообразие, U си X - ( непустое) открытое множество. U становится также неприводимым предмногообразием. [22]
В современной терминологии слово многообразие ( соответственно отделимое многообразие) употребляется вместо нашего предмногообразие ( соответственно многообразие); но мы предпочитаем придерживаться старого обычая, поскольку все предмногообразия, которые нам встретятся, являются в действительности многообразиями. [23]
Рангом / ( - свободной алгебры с базой X, где К - предмногообразие алгебр, называется мощность множества X. Имеет место теорема Фудзивары: если FI и FZ - свободные алгебры в предмногообразии К, содержащем неодноэлементяые алгебры, и Ft ex рх, то их ранги либо совпадают, либо конечны ( см. ( 30 ], с. Подчеркнем, что в случае конечности рангов они могут оказаться различными. [24]
Аксиоматизируемый класс алгебр является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он является предмногообразием. Более подробно со свойствами различных типов аксиоматизируемых классов можно познакомиться в [19], гл. [25]
Конструкция в (1.7) наводит на мысль о том, что произведение X X Y следует наделить структурой предмногообразия путем покрытия его произведениями различных открытых аффинных подмножеств предмногообразий X и У. Поэтому мы вначале более подробно рассмотрим аффинную ситуацию. [26]
Из тога факта, что множества Р г, ( 0 / / г) покрывают Рл, вытекут, что Рл - по меньшей мере предмногообразие. [27]
Конструкция в (1.7) наводит на мысль о том, что произведение X X Y следует наделить структурой предмногообразия путем покрытия его произведениями различных открытых аффинных подмножеств предмногообразий X и У. Поэтому мы вначале более подробно рассмотрим аффинную ситуацию. [28]
В современной терминологии слово многообразие ( соответственно отделимое многообразие) употребляется вместо нашего предмногообразие ( соответственно многообразие); но мы предпочитаем придерживаться старого обычая, поскольку все предмногообразия, которые нам встретятся, являются в действительности многообразиями. [29]
Функториал g назовем предвербалом, если это копредради-кал и он согласован с подгруппами ( а не только с нормальными делителями, как это требуется в определении корадикала), gf тогда и только тогда предвербал, когда соответствующий gf есть предмногообразие. Из приводившихся раньше замечаний следует, что в каждой группе предвербал выделяет вполне характеристическую подгруппу. [30]