Cтраница 3
Пара ( 1Х, 1Х) определяет диагональный морфизм d: Х - ХХХ, и мы называем схему X отделимой, если d - замкнутое вложение. Отделимое предмногообразие называется ( алгебраическим) многообразием. [31]
Предмногообразие называется модулярным ( или конгруэнц-модулярным), если во всех алгебрах этого лредмногообразия решетки конгруэнции модулярны. Для предмногообразия К следующие условия эквивалентны: ( 1) предмногообразие К модулярно; ( 2) в / ( - свободной алгебре ранга 4 решетка конгруэнции модулярна; ( 3) существуют такие натуральные числа п и слова t0, , in от четырех переменных, что в К. [32]
Остается проверить свойство универсальности отображения для XX У. Зададим предмногообразие W и морфизмы фь W - X, ф2: W - Y; мы должны построить соответствующий морфизм if: W - XX У. [33]
Таким образом, если А - конечная алгебра, то предмногообразие E ( J ( SUA), порожденное А, локально конечно. Существуют локально конечные предмногообразия, не порождаемые никакой своей конечной алгеброй. [34]
Другими словами, отображение ограничения Соп ( Л) - - Соп ( В) сюръективно. Алгебра С из предмногообразия К инъективна в К, если для любой подалгебры В в любой алгебре А из К каждый гомоморфизм алгебры В в С продолжается до гомоморфизма из Л в С. [35]
Пусть N - некоторый класс алгебр сигнатуры Т и Е - одноэлементная Г - алгебра. Отметим, что каждое предмногообразие порождается своими подпрямо неразложимыми алгебрами. [36]
Так, например, каждый наследственный радикал, порожденный произвольным классом разрешимых групп, является неразложимым элементом в полугруппе всех наследственных радикалов. Двойственное утверждение имеет место для предмногообразий. Следовательно, если из полугруппы всех наследственных радикалов удалить идемпотенты, то оставшаяся часть также будет полугруппой, и все ее элементы свободны. [37]
Открытые множества Ui называются аффинными открытыми подмножествами предмногообразия X. Мы также называем так любое открытое подмножество предмногообразия X, которое с индуцированным на нем пучком функций изоморфно аффинному многообразию. [38]
Прежде, чем разбирать общий случай произвольных предмногообразий X, У, мы рассмотрим неприводимые предмногообразия. Чтобы снабдить декартово произведение X X У структурой предмногообразия, необходимо задать топологию и покрытие аффинными открытыми множествами. Для всех аффинных открытых множеств V d У, U a X и всех конечных множеств полиномиальных функций fi на U и gi на V главные открытые множества ( U X Ю2 следует принять в качестве базисных открытых множеств в X X У. Заметим, что эти множества действительно образуют базис для некоторой топологии, так как пересечение двух таких множеств есть некоторое другое множество такого же типа. [39]
На произвольном проективном многообразии X а Ря может быть задана индуцированная структура предмногообразия. Это справедливо также для открытых или замкнутых подмножеств любого предмногообразия ввиду следующего. Пусть, скажем, ( X, Ох) - неприводимое йредмногообразие, U си X - ( непустое) открытое множество. U становится также неприводимым предмногообразием. [40]
Предмногообразие называется модулярным ( или конгруэнц-модулярным), если во всех алгебрах этого лредмногообразия решетки конгруэнции модулярны. Для предмногообразия К следующие условия эквивалентны: ( 1) предмногообразие К модулярно; ( 2) в / ( - свободной алгебре ранга 4 решетка конгруэнции модулярна; ( 3) существуют такие натуральные числа п и слова t0, , in от четырех переменных, что в К. [41]
ЛЛ / / ( ( Л) называется репликой алгебры А в классе К. Конгруэнция К ( А) называется вербальной конгруэнцией, соответствующей предмногообразию К. [42]
Рассмотрим диаграмму алгебр / в предмногообразий К. В частности, копредел не зависит от того, внутри какого предмногообразия он вычисляется. Предел диаграммы существенно зависит от того, внутри какого предмногообразия он находится. Предположим, что L - предмногообразие алгебр, содержащее К, и / - диаграмма алгебр в К. [43]
Построенная таким образом 7-алгебра F ( X) называется алгеброй слов в алфавите X, или абсолютно свободной Т - алгеброй с базой X. Роль алгебры слов будет отмечена ниже в связи с рассмотрением факторалгебр и предмногообразий ( ем. [44]
Он определил характер тех результатов, которые излагаются ниже. Они носят одинаковую логическую структуру - выполнимость некоторого свойства для конгруэнции всех алгебр предмногообразия эквивалентна выполнимости этого свойства для свободных алгебр некоторого конечного ранга, что в свою очередь эквивалентно существованию некоторого набора слов, задающих в предмногообразии определенный тип тождеств. [45]