Cтраница 4
Рангом / ( - свободной алгебры с базой X, где К - предмногообразие алгебр, называется мощность множества X. Имеет место теорема Фудзивары: если FI и FZ - свободные алгебры в предмногообразии К, содержащем неодноэлементяые алгебры, и Ft ex рх, то их ранги либо совпадают, либо конечны ( см. ( 30 ], с. Подчеркнем, что в случае конечности рангов они могут оказаться различными. [46]
Эквивалентное условие заключается в следующем: () для любых двух морфизмов ф, if: У - Х ( У - любое Предмногообразие) множество ( у е У ф ( у) ty ( y) замкнуто в У. [47]
Он определил характер тех результатов, которые излагаются ниже. Они носят одинаковую логическую структуру - выполнимость некоторого свойства для конгруэнции всех алгебр предмногообразия эквивалентна выполнимости этого свойства для свободных алгебр некоторого конечного ранга, что в свою очередь эквивалентно существованию некоторого набора слов, задающих в предмногообразии определенный тип тождеств. [48]
Алгебра F из предмногообразия К называется К-свободной алгеброй с базой X ( множество X называется также системой свободных образующих или порождающих), если X содержится в F и порождает F, а любое отображение X в любую алгебру А из класса К продолжается до гомоморфизма алгебры F в алгебру А. X определены однозначно с точностью до изоморфизма. Если в предмногообразии К содержится неодноэлементная алгебра и F ( X) - алгебра слов в алфавите X, то F ( X) / K ( F ( X)) является / ( - свободной алгеброй с базой X. Таким образом, алгебра слов F ( X) является свободной алгеброй с базой X в предмногообразии К ( Т) всех Г - алгебр. Кроме того, любая алгебра из предмногообразия К изоморфна факторал-гебре / ( - свободной алгебры с некоторой базой. [49]
При записи квазитождеств кванторную приставку обычно опускают. Еще более общим является понятие предмногообразия - так называется всякий класс полугрупп, который наследствен, мультипликативно замкнут и содержит одноэлементную полугруппу. [50]