Cтраница 4
Так как Д - область целостности, Q - ее поле частных и дМ - модуль без кручения, то гомоморфизм Д - модулей М - Q 0 М, ж - 1 ( 8) ж, является мономорфизмом ( см. [ 5, следствие, с. Так как Q выделяется прямым слагаемым в векторном пространстве SQ, то QR выделяется прямым слагаемым в правом модуле SR. Отсюда следует ( аналогично доказательству предложения 12), что отображение Q М - S 0 М, q ( g) m - - g ( 8) ттг, является мономорфизмом Д - модулей. Поэтому композиция а этих отображений является мономорфизмом. Таким образом, согласно определению 4 А-ЛРП и обладает биномиальным представлением. [46]
В § 2 даются основные определения, связанные с А-линейными рекуррентными последовательностями над модулями. В § 3 изучаются биномиальные последовательности над кольцами и модулями. В § 4 строятся биномиальные базисы некоторых ЛРП-семейств. В § 5 приводятся необходимые сведения о расширениях колец и модулей, локальных кольцах и многочленах над ними. В § 6 рассматриваются классы коммутативных колец и модулей, над которыми любая А-ЛРП обладает биномиальным представлением. Показывается, что нахождение биномиального представления А-ЛРП сводится к построению кольца разложения ее элементарных характеристических многочленов и решению некоторой системы линейных уравнений над модулем. В § 7 рассмотрено понятие линейной сложности А-ЛРП. В § § 8 - 9 изучается задача, в некотором смысле обратная задаче нахождения биномиального представления: как по известному биномиальному представлению А-ЛРП найти или оценить ее линейную сложность, вычислить характеристический и минимальный многочлены и аннулятор. В § 8 получены верхние, а в § 9 - нижние оценки линейной сложности. [47]
Напомним, что кольцо R называется совершенным, если каждый Д - модуль обладает проективной оболочкой ( см. [ 4, с. Всякое артиново кольцо совершенно и полупримарно. Согласно [ 4, следствия 11.6.2 ( с) и 11.4.3 ] ( для коммутативного случая) совершенное кольцо R есть прямая сумма локальных колец, и в силу [ 4, теорема 11.6.3 ( 5) ] радикал кольца R является ниль-идеалом. Если R - коммутативное полупримарное кольцо, то R / J ( R) есть прямая сумма конечного числа полей. Так как идемпо-тенты ( и прямые суммы) могут быть подняты по модулю любого ниль-идеала ( см. [ 17, предложение 18.21 ]), то R есть прямая сумма локальных колец с нильпотентными радикалами. Таким образом, коммутативные совершенные и полупримарные кольца являются прямыми суммами вполне примарных колец. Ввиду теоремы 13 ( 6) и предложения 15 отсюда следует, что любая fc - ЛРП над Д - модулем М, где R совершенно или полупримарно, обладает биномиальным представлением. [48]
В § 2 даются основные определения, связанные с А-линейными рекуррентными последовательностями над модулями. В § 3 изучаются биномиальные последовательности над кольцами и модулями. В § 4 строятся биномиальные базисы некоторых ЛРП-семейств. В § 5 приводятся необходимые сведения о расширениях колец и модулей, локальных кольцах и многочленах над ними. В § 6 рассматриваются классы коммутативных колец и модулей, над которыми любая А-ЛРП обладает биномиальным представлением. Показывается, что нахождение биномиального представления А-ЛРП сводится к построению кольца разложения ее элементарных характеристических многочленов и решению некоторой системы линейных уравнений над модулем. В § 7 рассмотрено понятие линейной сложности А-ЛРП. В § § 8 - 9 изучается задача, в некотором смысле обратная задаче нахождения биномиального представления: как по известному биномиальному представлению А-ЛРП найти или оценить ее линейную сложность, вычислить характеристический и минимальный многочлены и аннулятор. В § 8 получены верхние, а в § 9 - нижние оценки линейной сложности. [49]
В § 2 даются основные определения, связанные с А-линейными рекуррентными последовательностями над модулями. В § 3 изучаются биномиальные последовательности над кольцами и модулями. В § 4 строятся биномиальные базисы некоторых ЛРП-семейств. В § 5 приводятся необходимые сведения о расширениях колец и модулей, локальных кольцах и многочленах над ними. В § 6 рассматриваются классы коммутативных колец и модулей, над которыми любая А-ЛРП обладает биномиальным представлением. Показывается, что нахождение биномиального представления А-ЛРП сводится к построению кольца разложения ее элементарных характеристических многочленов и решению некоторой системы линейных уравнений над модулем. В § 7 рассмотрено понятие линейной сложности А-ЛРП. В § § 8 - 9 изучается задача, в некотором смысле обратная задаче нахождения биномиального представления: как по известному биномиальному представлению А-ЛРП найти или оценить ее линейную сложность, вычислить характеристический и минимальный многочлены и аннулятор. В § 8 получены верхние, а в § 9 - нижние оценки линейной сложности. [50]