Cтраница 3
Для симметричного случая безаберрационное приближение определяет класс решений нелинейного уравнения квазиоптики, называемых автомодельными решениями. Применение вариационного метода [32], в котором параметры пучка выбираются так, чтобы минимизировать ошибку аппроксимации пучка гауссовой формой, позволяет более корректно, чем в безаберрационном приближении, описывать изменение усредненной интенсивности в пучке, дает правильное значение критической мощности нелинейных эффектов. [31]
В дальнейшем будет показано, что коэфи-циенты а и Ь равны между собой, так же как и с, d и е; следует отметить, что можно было ожидать равенства этих коэфициентов, так как структуры А и В, с одной стороны, а с другой стороны, структуры С, D и Е являются эквивалентными структурами. Применение вариационного метода позволяет определить энергию рассматриваемой системы, резонирующей между пятью структурами, и вычислить также значения коэфициентов а, Ь, с, d я. При составлении векового уравнения для данной задачи делаются те же приближенные допущения, как и в случае четырехэлек-тронной системы. Принимается, что антисимметричные собственные функции являются нормированными и взаимно ортогональными и что все обменные ( резонансные) интегралы, включающие число перестановок больше одной, равны нулю. Дальнейшее упрощение, не связанное с большой ошибкой, достигается в результате учета лишь тех обменных интегралов, которые соответствуют обмену электронов только между соседними, парами атомов. [32]
Точные решения задачи изгиба пластин могут быть получены лишь в некоторых частных случаях, преимущественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при, определенных видах граничных условий. Применение вариационных методов расчета является эффективным средством - определения прогибов пластин в более сложных случаях. [33]
Таким образом, проблема оптимального управления сводится в большинстве случаев к решению задачи о нахождении экстремумов функций многих переменных или функционалов при наличии ограничений. Применение классических вариационных методов для решения этих задач затрудняется тем, что ограничения часто задаются в виде неравенств; кроме того, это требует чрезмерно большого количества элементарных операций. Более совершенным методом решения задач оптимального управления является математическое программирование. [34]
Точные решения задачи изгиба пластин могут быть получены лишь в - некоторых частных случаях, преимущественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при определенных видах граничных условий. Применение вариационных методов расчета является эффективным средством определения прогибов пластин в более сложных случаях. [35]
Теперь непосредственный способ применения вариационного метода состоит в следующем. Затем, чтобы определить А, мы полагаем 8Е О и отыскиваем решения, если они вообще существуют, получаемых при этом уравнений. [36]
Вариационный метод применим также и для возбужденных состояний, однако в этом случае возникают некоторые усложнения. В дальнейшем мы ограничимся применением вариационного метода главным образом только для основных состояний, которые и представляют наибольший интерес в химии. [37]
Анализ большого числа систем управления показывает, что по характеру изменения во времени оптимальное управление следует искать среди кусочно-непрерывных функций, в частности кусочно-постоянных. Так, установлено без применения вариационных методов, что минимальное время перехода объекта из одного состояния в другое достигается при релейном управлении ( /), принимающем два значения и или - та. [38]
Основные математические понятия вариационного исчисления приведены в [ 1, гл. В работе [9] описывается применение вариационных методов в динамике, квантовой механике, теории поля и при рассмотрении химических реакций. [39]
Наконец, метод редукции обычно обладает слабой скоростью сходимости. Отмеченные обстоятельства ограничивают область применения вариационных методов, которые требуют для своей реализации мощных ЦЭВМ. Очевидно, что с ростом ресурсов ЦЭВМ соответственно будет возрастать и роль вариационных методов в задачах машинного проектирования электродинамических систем СВЧ. [40]
Для анализа задач трехмерного течения наиболее приемлемыми являются вариационные методы. Не исключено, конечно, применение вариационных методов и для решения плоских задач. [41]
Вычисление сил отталкивания удается довести до конца только для таких простых систем, как Н - - - Н, Н - - - Не и Не - - - Не. Техника расчета, основанная на применении вариационного метода и метода теории возмущений, рассмотрена в обзоре Гиршфельдера и Мита [91]; в работе [92] дана общая теория межмолекулярных сил в области малого перекрывания. Теория эта слишком сложна, чтобы ее можно было бы применить для строгих расчетов взаимодействий атомов, содержащих много электронов. Поэтому определение межатомных и межмолекулярных потенциалов отталкивания из экспериментальных данных имеет практическую ценность. Однако из-за того, что не только численные значения параметров, но и аналитические формы потенциалов невозможно строго объяснить теоретически, остается некоторое чувство неудовлетворенности. [42]
Эти структуры приводят к гораздо большим обменным интегралам. Соответствующее вековое уравнение, получающееся при применении вариационного метода, имеет такой же вид, как уравнение, получающееся в методе МО-ЛКАО для тех же соединений, но рассматриваются только два нижних корня. Но и при этом зависимость длины волны поглощения от числа двойных связей N не удается передать правильно. Однако включение новых структур должно привести к существенному уменьшению силы осциллятора, поскольку в этих структурах заряд удаляется от концов молекулы. [43]
Результаты вычислений формы и энергии стенок Блоха и Нееля, описанные выше, могут быть значительно улучшены с помощью различных приближенных методов. Наиболее полное решение может быть получено при применении вариационных методов, разд. Наиболее простым является метод Ритца, в котором распределение намагниченности задается в параметрической форме и полная энергия, включая ее магнитостатическую составляющую, оценивается через эти параметры. Затем находятся величины параметров, дающие минимальное значение энергии. К сожалению, при применении данного метода не указывается, какие классы функций необходимо выбирать для вычислений. Это неудобство преодолевается использованием цифровых вычислительных машин, с помощью которых получают численные решения. Магнитостатическая энергия в этом случае вычисляется точно и с помощью ЭВМ находится состояние минимальной энергии. Результаты, полученные вычислительными методами, подтверждают общие идеи относительно стенок Блоха и Нееля, проиллюстрированные зависимостями на рис. 28 - 30, и дают, разумеется, более точное распределение намагниченности в стенке. Показано, что вблизи внешних границ стенки Блоха М поворачивается в направлении, противоположном ее вращению в центре стенки, так что составляющие намагниченности, перпендикулярные плоскости пленки, в центре и на краях стенки имеют разные знаки. Для такой неожиданной конфигурации стенка имеет более низкую энергию. Таким образом, заметные величины ф могут быть обнаружены на расстоянии в несколько микрон от центра стенки Нееля, в то время как полное изменение намагниченности в стенке Блоха происходит в области шириной в несколько сотен ангстрем. Эти выводы подтверждаются исследованиями в электронном микроскопе с высоким разрешением, разд. [44]
Йеха [381] и других разрабатывается подход, связанный с применением вариационных методов для вычисления границ эффективных модулей гранулированных и волокнистых композитов. Для уточнения этих границ широкое распространение получили различные упрощенные модели структурно-неоднородных сред [130, 286], не учитывающие в полной мере взаимодействия между элементами структуры, но позволяющие получить достаточно простые аналитические выражения для макромодулей. [45]