Cтраница 1
Принцип живых сил обладает тем большим преимуществом, что он непосредственно дает конечное уравнение между скоростями тел и переменными величинами, определяющими их положение в пространстве; таким образом в том случае, когда согласно природе задачи все эти переменные могут быть сведены к одной переменной, этого одного уравнения оказывается достаточно для полного разрешения задачи; такой именно случай мы имеем в проблеме о центрах колебания. При этом вообще принцип сохранения живых сил всегда дает первый интеграл различных дифференциальных уравнений каждой задачи, что во многих случаях представляет большую выгоду. [1]
Историю принципа живых сил можно начать с Галилея - его утверждение, что скорость, приобретаемая при движении тела вдоль наклонной плоскости, определяется только разностью высот исходного и начального положения, является первым и частным случаем этого принципа. В более общей форме это же положение высказано Торричелли ( см. гл. [2]
Один интеграл этих уравнений дает принцип живых сил. [3]
Если сравнить принцип наименьшего действия, принцип живых сил, принцип сохранения движения центра тяжести и закон площадей, то увидим, что первый принцип - это только правило для составления дифференциальных уравнений движения, теперь уже бесполезное, поскольку мы можем получить эти уравнения способом более непосредственным и более общим по формуле ( 1) из § 531 [59]; между тем другие принципы, помимо того, что они содержат в себе важные особенности движения, имеют еще и то преимущество, что позволяют получить единственно известные нам в большинстве задач интегралы этих дифференциальных уравнений. [4]
Мы уже часто применяли на деле принцип живой силы, не обращая на это внимания. [5]
Все интегралы механической задачи, к которой применим принцип живых сил, могут быть найдены, если приравнять постоянным величинам частные производные одной и той же функции, взятые по отношению к другим постоянным. [6]
Это и есть принцип, возникший из комбинаций принципа живой силы и принципа площадей; он имеет место, когда центры притяжения двигаются с равномерной скоростью вокруг некоторой оеи вращения. К, этой категории принадлежит, например, движение на поверхности земли или поблизости к ней, так как земля есть агрегат таких центров притяжения. С этой точки зрения, по настоящему, должна была бы быть рассматриваема задача, если бы разница плотности земли между различными меридианами была бы заметной. При таком предположении и если бы в то же время луна была бы ближе к земле и последняя двигалась бы медленнее, притяжение луны землею было бы, между прочим, также функцией от часового угла. Тогда моменты инерции относительно различных меридианных плоскостей должны были бы быть различны, что выявилось бы из наблюдений. [7]
Спросим теперь себя, имеют ли еще место здесь принципы живой силы и площадей. С этой целью умножим, как в § 47, уравнения движения по порядку на и, v, w, сложим и проинтегрируем. [8]
Уже в самом начале исследования Лагранж вводит как необходимое условие принцип живых сил. Этим ограничивается круг задач, рассматриваемых Лагранжем в его сочинении. [9]
Таким образом, уже в самом начале исследования вводится как необходимое условие принцип живых сил. [10]
Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют место принцип живой силы и принцип наименьшего действия. Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильтон называет характеристической функцией. [11]
Мы должны ответить: механика этого принципа не имеет, она имеет лишь принцип живых сил. [12]
Если приходится учитывать трение, как в разобранном в § 15 случае, то принцип живой силы неприменим, ибо трение не центральная сила, и работа трения не представляет поэтому полного диференциала. [13]
Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи; только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. [14]
Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального - уравнения радачл; только таким путем можно притти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в туринзком мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после выше сделанных замечаний недопустим. [15]