Cтраница 3
В последующих; рассуждениях представим себе систему, связи которой не зависят от времени и котора я находится под действием сил, составляющие которых являются частными производными одной и той же функции. Одним словом допустим, что к задаче, которой мы займемся, применим принцип живых сил. [31]
Исследования Понселе в области прикладной механики изложены в его курсах, выходивших под разными названиями почти до конца XIX в. Вместе с Кориолисом он ввел в механику понятие работы, вывел на основании принципа живых сил общее уравнение движения машины и привел в порядок все задачи динамики машин, решенные к тому времени. Интересно отметить, что Понселе не видел особой разницы между регулированием хода машины и уравновешиванием ее деталей, рассматривая их как различные способы осуществления одной и той же операции. Он вывел уравнение движения маховика, который считал вообще наиболее общим типом регулятора хода машины. [32]
Интересно заметить, что найденные здесь движения совершенно совпадают с тем. О центральной силы, ибо такое движение, как мы видели в § 52, определяется двумя Уравнениями принципа площадей и принципа живой силы. [33]
Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи; только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. [34]
Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального - уравнения радачл; только таким путем можно притти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в туринзком мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после выше сделанных замечаний недопустим. [35]
Оно состоит в том, что в уравнении ( 1) этой лекции заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. [36]
Если же в задаче имеется несколько неподвижных центров, не лежащих на одной прямой, то не существует больше никакого интеграла площадей и имеется только интеграл принципа живой силы. [37]
Рассмотрим еще знаменитую задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки при отсутствии каких-либо сил. В этой задаче приходится интегрировать пять дифференциальных уравнений первого порядка между шестью переменными. Принцип живых сил дает здесь один интеграл, три других получаются из принципа площадей, пятый интеграл непосредственно выводится из моего принципа. Таким образом, все интегралы в этой трудной задаче получаются только лишь из общих принципов механики, без того чтобы понадобилось писать хотя бы одну формулу или производить замену переменных. [38]
В качестве второго примера применения последнего множителя возь-жем такой случай, когда мы не будем получать множителя некоторого неизвестного дифференциального уравнения, но сможем провести вполне все интегрирования; именно возьмем движение планеты вокруг солнца в среде, не оказывающей сопротивления. Мы легко убедимся, что движение должно происходить в одной плоскости и что поэтому мы получим только систему четвертого порядка или, после исключения t, третьего порядка. Принципы живой силы и площадей дают для этой системы два интеграла, а принцип последнего множителя дает третий. В этой задаче, как мы видим a priori, интегрирования могут быть проведены полностью. [39]
В 1743 г. вышла в свет Гидравлика, впервые открытая и доказанная на чисто механических основаниях 4 И. В основу этой системы был положен принцип живых сил. [40]
Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне точно, я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики. Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, как и общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел. Однако этот метод представляет собою не что иное, как следствие метода, составляющего предмет второй части настоящей работы и обладающего в то же время тем преимуществом, что он выводится из первых принципов механики. [41]
Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными; два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [42]
Теория Лапласа была подвергнута критике Юнгом), который указал на невероятность существования такой системы сил, которая требуется для изменения скоростей световых корпускул. Он говорит: Я позволю себе сделать одно замечание. Я считаю неудовлетворительным метод, примененный другим великим геометром ( Laplace, Memoires Ie 1 Institut, 1809) для вывода закона преломлений Гюйгенса из принципа наименьшего действия. Действительно, этот принцип, по существу, предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого скорость точек в движении полностью определяется их положением, а направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого влияния. Тем не менее, это влияние является исходной точкой рассуждений упомянутого нами автора. [43]
Аламбер, конечно, не мог остаться в стороне от этой дискуссии ни как механик, ни как философ. Действительно, в Энциклопедии, редактором которой он был вместе с Дидро, Д Аламбер в ряде статей, посвященных различным вопросам, с большей или меньшей подробностью рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия. С плохо скрытой иронией он отводит претензии Мопертюи на открытие универсального закона, являющегося якобы непосредственным выражением могущества бога. Что же касается чисто механического значения принципа, то он указывает прежде всего, следуя Эйлеру, на его глубокую связь с принципом живых сил и на возможность его применения для решения отдельных частных задач механики. Аламбер вполне в духе своих взглядов на механику в целом отмечает, что можно найти различные математические выражения для одних и тех же явлений и что отыскивать в этих выражениях какой-либо иной смысл, кроме того, который заключен в их математической форме, - задача ненужная и даже вредная. По сравнению с принципом причинности, который отразился в механике Ньютона и самого Д Аламбера, говорит он, попытки телеологически обосновать науку на принципе наименьшего действия производят впечатление чахлого дерева. [44]
Прежде всего, они говорят, что трение приливов и отливов, приводящее к нагреванию, должно разрушать живую силу. Они опираются, следовательно, на принцип живых сил или закон сохранения энергии. Затем они говорят, что вековое ускорение Луны, рассчитанное на основании закона Ньютона, было бы меньше ускорения, полученного из наблюдений, если бы не делали относительную поправку на замедление земного вращения. Они опираются, следовательно, на закон Ньютона. Другими словами, они определяют длительность так, чтобы закон Ньютона и принцип живых сил были справедливы. Закон Ньютона есть истина, полученная из опыта. [45]