Cтраница 2
Системы ( С) и ( D) дают в наиболее простом виде уравнения задачи механики, к которой применим принцип живых сил. Как видим, две задачи этого рода отличаются друг от друга только числом переменных и видом функции Я. [16]
Краткое содержание Лекций по динамике следующее: Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики: принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. В следующих лекциях этот метод применяется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [17]
Остроградский делает несколько замечаний по поводу той части Аналитической механики, в которой Лагранж выводит уравнение движения механики из принципа наименьшего действия в связи с принципом живых сил. Остроградский считает ход рассуждений Лагранжа неточным ( стр. Он основывает свои возражения на том, что на основании уравнения живых сил существует зависимость между некоторыми вариациями, которые Лагранж считает независимыми. [18]
Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для системы масс, находящейся под действием притягивающих или отталкивающих сил - при соблюдении принципа живых сил - сумма существующих мгновенно живых сил всех масс при переходе из одного заданного в другое, также заданное положение, имеет максимум или минимум. [19]
В той же самой диссертации Гук упоминает все факты, которые Иоганн Бернулли в дальнейшем приводил в поддержку причудливой доктрины Лейбница о силах тел в движении или принципа живой силы ( Vires vivae), доктрины, которую Гук мог бы по справедливости назвать своей, если бы не видел ее бесполезности. [20]
Лаланд пишет Эйлеру: Я прочитал с удовольствием Ваши мемуары в защиту Мопертюи; я хотел бы, чтобы Вами было обращено больше внимания на то что принцип наименьшего действия отличается от принципа живых сил потому что и тот и другой оценивают действия ( Paction) квадратом скорости, предполагая время постоянным; в случае, рассмотренном в статье Кенига, живая сила равна нулю, ее элемент также равен нулю, точно так же, как элемент действия у Мопертюи, так что здесь нет никакой разницы между ними. [21]
Лаланд пишет Эйлеру: Я прочитал с удовольствием Ваши мемуары в защиту Мопертюи; я хотел бы, чтобы Вами было обращено больше внимания на то, чем принцип наименьшего действия отличается от принципа живых сил, потому что и тот и другой оценивают действия ( Faction) квадратом скорости, предполагая время постоянным; в случае, рассмотренном в статье Кенига, живая сила равна нулю, ее элемент также равен нулю, точно так же как элемент действия у Мопертюи, так что здесь нет никакой разницы между ними. [22]
Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. [23]
Если предположить, кроме того, что центры не неподвизкны, но имеют собственное движение, независимое от других материальных точек системы, так что это движение есть данная функция времени, то и принцип живой силы также не применим. Такие случаи в природе встречаются; сюда принадлежит, например, притяжение кометы солнцем и Юпитером, если рассматривать орбиты солнца и Юпитера как данные, а комеъу как материальную точку, которая не имеет на эти орбиты никакого влияния. [24]
Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. [25]
Интеграл т itds оказывается максимумом или минимумом, если его сравнить с аналогичными интегралами, относящимися ко всякому другому движению системы, которое было бы вызвано теми же силами и при котором, несмотря на введение новых связей, допускающих существование принципа живых сил, начальные и конечные положения оставались бы одними и теми же. Возможно, что это заключение, которое с очевидностью следует из доказательства, в тексте выражено недостаточно ясно. [26]
Интеграл S т J u ds оказывается максимумом или минимумом, если его сравнить с аналогичными интегралами, относящимися ко всякому другому движению системы, которое было бы вызвано теми же силами и при котором, несмотря на введение новых связей, допускающих существование принципа живых сил, начальные и конечные положения оставались бы одними и теми же. Возможно, что это заключение, которое с очевидностью следует из доказательства, в тексте выражено недостаточно ясно. [27]
Прежде всего, они говорят, что трение приливов и отливов, приводящее к нагреванию, должно разрушать живую силу. Они опираются, следовательно, на принцип живых сил или закон сохранения энергии. Затем они говорят, что вековое ускорение Луны, рассчитанное на основании закона Ньютона, было бы меньше ускорения, полученного из наблюдений, если бы не делали относительную поправку на замедление земного вращения. Они опираются, следовательно, на закон Ньютона. Другими словами, они определяют длительность так, чтобы закон Ньютона и принцип живых сил были справедливы. Закон Ньютона есть истина, полученная из опыта. [28]
Действительно, этот принцип по существу предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого скорость точек в движении полностью определяется их положением, а направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого влияния. Тем не менее это влияние является исходной точкой рассуждений упомянутого нами автора. Мне думается, что все усилия геометров объяснить двойное преломление в рамках эмиссионной гипотезы останутся бесплодными до тех пор, пока световые молекулы будут рассматриваться как простые точки. [29]
Я считаю неудовлетворительным метод, примененный другим великим геометром ( Laplace, Memoires de PInstitut, 1809) для вывода закона преломлений Гюйгенса из принципа наименьшего действия. Действительно, этот принцип по существу предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого скорость точек в движении полностью определяется их положением, а направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого влияния. Тем не менее, это влияние является исходной точкой рассуждений упомянутого нами автора. Мне думается, что все усилия геометров объяснить двойное преломление в рамках эмиссионной гипотезы останутся бесплодными до тех пор, пока световые молекулы будут рассматриваться как простые точки. [30]