Cтраница 3
Прослеживается, как аналитическая статика выделилась в самостоятельную теорию равновесия механических систем, как превратился принцип виртуальных скоростей из устного правила в общее условие равновесия механической системы, записанное аналитически, какие подходы к обоснованию этого принципа были в трактатах XVIII и начала XIX в. [31]
Карно ( 1753 - 1823), по-видимому, сделал первую попытку вывести аналитическую запись принципа виртуальных скоростей. В сочинении Карно Опыт о машинах вообще ( 1783) содержится теория равновесия и движения механической системы, которую Карно называет машиной. [32]
Торричелли, знаменитый ученик Галилея, является автором другого принципа, который тоже связан с принципом виртуальных скоростей. Этот принцип заключается в том, что если два груза связаны друг с другом и находятся в таком положении, что их центр тяжести не может опуститься ниже, то они в этом положении находятся в равновесии. Торричелли применил этот принцип только к наклонной плоскости, но легко убедиться, что он сохраняет свою силу и для других машин. [33]
В работах О мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям ( 1838) и О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции ( 1841 г., опубликовано в 1842 г.) Остроградский дал строгое доказательство формулы, выражающей принцип возможных перемещении, для случая нестационарных связей. Во второй работе указаны некоторые неточности, допущенные Пуассоном в курсе механики. [34]
Рассматриваемый здесь принцип виртуальных скоростей эквивалентен принципу виртуальных работ или виртуальных перемещений, но для больших деформаций использование принципа виртуальных скоростей является более удобным, так как, во-первых, компоненты тензора скоростей деформаций линейно зависят от компонент вектора скорости, а компоненты тензора деформаций нелинейно зависят от перемещений, во-вторых, принцип виртуальных скоростей позволяет характеризовать движение в произвольный момент времени t в терминах как лагранжевых, так и эйлеровых переменных, а принцип виртуальных перемещений всегда предполагает лагранжево представление движения относительно некоторого начального состояния. [35]
В этих обозначениях знак минус поставлен для того, чтобы сохранить обозначения Лагранжа, который, исходя из своего принципа виртуальных скоростей и обращаясь впервые к систематическому использованию неопределенных множителей, пришел к условиям равновесия, эквивалентным условиям ( 19), но имеющим скалярную форму. [36]
Этому же вопросу о неудерживающих связях посвящены и две другие работы Остроградского: О мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям и О принципе виртуальных скоростей л о силе инерции, возникшие, как говорит сам их автор, при подготовке им курса механики. [37]
Известно, что Лагранж в своей знаменитой книге, озаглавленной им Аналитическая механика, поставил себе целью свести механику к общим формулам, выведенным из единственного принципа виртуальных скоростей, или, вернее, из дифференциальной формулы, выражающей этот принцип. Для придания своему труду большего совершенства автор при разрешении исследуемых им проблем старается избегать применения каких бы то ни было чертежей или аргументов, основанных на геометрических или механических соображениях; все операции производятся у него путем исчисления и с помощью простых преобразований координат; даже столь естественный и простой вопрос, как вопрос о сложении сил, приложенных в одной точке, мы видим представленным в чисто аналитическом виде. [38]
Нетрудно заметить, что эти семь уравнений являются в известной мере очевидными a priori и что их можно было бы написать, не прибегая к принципу виртуальных скоростей. Но Лагранж не ставит себе целью трактовать каждый отдельный вопрос наиболее простым путем; он желает лишь показать, каким образом можно сделать ненужным специальное рассмотрение каждого отдельного случая и свести статику к простому механизму исчисления. Впрочем, Лагранж никогда не утверждал и не собирался утверждать, что именно таким путем следует подходить к изучению механики. [39]
При деформации в холодном состояний большинство металлов не проявляет вязких свойств ( напряжения не зависят от скоростей деформаций), так что решение задачи с использованием принципа виртуальных скоростей и напряжений невозможно. Но оно становится возможным, если от теории вязко-пластичности, которая до сих пор использовалась в этом параграфе, перейти к теории пластического течения, где напряжения связываются с приращениями деформаций, которые могут быть выражены через перемещения. [40]
Первый отдел первой части содержит в себе более полный анализ трех принципов статики с новыми замечаниями о природе и связи этих принципов; он заканчивается прямым доказательством принципа виртуальных скоростей, совершенно независимым от других двух принципов. [41]
Отбрасыванием суммы элементарных работ сил реакций связей на возможных перемещениях точек их приложения ( используем современную терминологию) Лаплас получал общую формулу статики Лагран-жа, или аналитическую запись принципа виртуальных скоростей, подчеркивая, что эта формула является простым следствием принципов геометрической статики. [42]
Впрочем, изложенные выше свойства максимумов и минимумов, проявляющиеся при равновесии системы любых сил, являются только непосредственным следствием доказательства, данного нами в конце первого отдела для принципа виртуальных скоростей. [43]
Но, кроме этого / Галилей, как писал о нем Лагранж, связал гидростатику со статикой твердых тел, подчинив эти две дисциплины одному и тому же принципу - принципу виртуальных скоростей. [44]
И вообще, мне кажется, можно сказать наперед, что все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представляли бы собою не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей, рассматриваемый с иной точки зрения и отличающийся от принципа виртуальных скоростей лишь по своей формулировке. [45]