Cтраница 4
В геометрии он дал определение пространственных координат, занимался различными специальными кривыми и др. Ему принадлежат также ценные работы по механике, в частности он дал весьма четкое понятие работы и для простейших случаев сформулировал так называемый принцип виртуальных скоростей. [46]
Эта процедура, особенно для нерегулярных сеток, требует достаточно громоздких выкладок, и потому более удобен подход, когда на втором этапе конечно-разностной аппроксимации динамической модели оболочек проводится дискретизация вариационной формулировки динамических уравнений вида (2.7.5) или принципа виртуальных скоростей. [47]
Впрочем, хотя Лагранж дает основание полагать, что при его методе можно применять координаты любого вида, если только они пригодны для определения положений тел, чрезвычайно интересно, что этот математик никогда не применял иных координат, кроме тех, которые фактически подходят к принципу виртуальных скоростей; по крайней мере я не знаю такого примера и полагаю, что его и нельзя найти в работах Лагранжа. В самом деле, если бы для разрешения какой-либо проблемы он попытался воспользоваться некоторыми координатами, недопустимыми при его методе, то весьма вероятно, что заметная ошибка в каком-либо полученном им выводе навела бы его на мысль об ошибочности его формул; тогда, конечно, он сам не замедлил бы сделать по этому поводу ясную оговорку, по крайней мере во втором издании своего прекрасного труда. [48]
И вообще, мне кажется, можно сказать наперед, что все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представляли бы собою не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей, рассматриваемый с иной точки зрения и отличающийся от принципа виртуальных скоростей лишь по своей формулировке. [49]
Рассматриваемый здесь принцип виртуальных скоростей эквивалентен принципу виртуальных работ или виртуальных перемещений, но для больших деформаций использование принципа виртуальных скоростей является более удобным, так как, во-первых, компоненты тензора скоростей деформаций линейно зависят от компонент вектора скорости, а компоненты тензора деформаций нелинейно зависят от перемещений, во-вторых, принцип виртуальных скоростей позволяет характеризовать движение в произвольный момент времени t в терминах как лагранжевых, так и эйлеровых переменных, а принцип виртуальных перемещений всегда предполагает лагранжево представление движения относительно некоторого начального состояния. [50]