Cтраница 4
Формула среднего значения ( 18) позволяет установить другое основное свойство гармонических функций, называемое принципом максимума и минимума, или принципом экстремума. [46]
Тогда Ul ( z) - U2 ( z) - гармоническая функция, равная тождественно нулю на границе заданной области. Применяя принцип экстремумов, мы убеждаемся, что иг ( z) U2 ( z) во всей этой области. [47]
В частности, если однородная задача ( 2.8 J, (2.58) не имеет отличных от нуля решений, то неоднородная задача (2.8), (2.35) всегда разрешима. Такая ситуация возникает, например, в случае эллиптических уравнений и систем, для которых имеют место принципы экстремума, изложенные в пункте 2е § 2 гл. Существуют, однако, широкие классы эллиптических систем, для которых принципы экстремума перестают быть верными, но единственность решения задачи Дирихле все же имеет место. [48]
Его бессмысленно выделять в дивергенцию ( здесь: дифференциал), так как интегрирование проводится по У, а не по и. Вместе с тем они произвольны, а равенство нулю вариации интеграла действия не должно зависеть от конкретного выбора йж 4, обращающихся в нуль на границах; точно так же и уравнения, следующие из принципа экстремума действия при конкретных выборах бж, выполняются универсально и не зависят от 8х, что совершенно естественно. [49]