Вариационная проблема
Cтраница 3
В книге в справочной форме впервые приведены результаты систематического исследования вариационных принципов теории упругости и оболочек в соответствии с теорией преобразования вариационных проблем Куранта и Гильберта. [31]
Обращаясь к учету взаимодействия между электронами, нужно заметить, что формула ( 9) непосредственно дает способ выбора ограниченной части D гильбертова пространства для вариационной проблемы, о которой говорилось в разд. [32]
При ограничении любым данным числом отдельных слагаемых рекуррентные соотношения сводятся к линейным уравнениям для определения С1тп; можно показать, что решение этих линейных уравнений эквивалентно разрешению некоторой линейной вариационной проблемы. Большое преимущество описываемого метода состоит в том, что соответствующая секулярная матрица имеет большое число нулей, а остальные ее матричные элементы принимают только целочисленные значения. [33]
Ищем такую действительную во всем конфигурационном пространстве, однозначную, ограниченную и всюду дважды дифференцируемую функцию-у, которая дает экстремальное значение интегралу от упомянутой квадратичной формы, распространенному по всему конфигурационному пространству), Эта вариационная проблема и заменяет у нас квантовые условия. [34]
Оба вариационных принципа - Лагранжа и Кастильяно - являются вариационными принципами, в которых формулируются условия и следствия стационарности частных функционалов ( / х ( и) и / 4 ( х)) и, таким образом, в этих принципах имеет место условная вариационная проблема. [35]
В данном разделе применим симметричную зависимость, и подобно тому как при выводе функционала Ху - Вашицу поставили дополнительное условие (15.19), в рассматриваемом случае потребуем выполнения симметричного ( см. табл. 15.2) условия (15.17), используя так же как и при построении функционала Ху - Вашицу множители Лагранжа для сведения условной вариационной проблемы к свободной. [36]
Выше говорилось, что вариационные проблемы подразделяются на свободные ( без дополнительных условий) и на вариационные проблемы условного экстремума при наложении на функции, от которых зависит функционал, дополнительных условий. Функционалы, соответствующие свободным вариационным проблемам, будем называть полными, а вариационным проблемам на условный экстремум - частными. [37]
Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении вариационной проблемы; это преобразование требует только дифференцирований и исключений. [38]
Доказательства теорем существования решений уравнений поля для многообразий с положительно определенной метрикой [35, 36] известны шире, чем для многообразий с метрикой другой сигнатуры. Поэтому было бы выгодно сформулировать вариационную проблему таким образом, чтобы гарантировать положительную определенность метрики. Для этого можно ограничить вариационную проблему областью между двумя бесконечно близкими пространственноподобными гиперповерхностями, на которых заданы начальные значения, а затем распространить полученное решение на осталь ное пространство - время с помощью дифференциальных уравнений поля. Лишнеровиц [25] показал, что в случае общей теории относительности такого рода продолжение решения может быть осуществлено с помощью десяти уравнений поля Эйнштейна. [39]
Хотя история создания вариационных принципов механики сплошных сред насчитывает более ста лет, а вариационное исчисление является одним из классических разделов математики, развитие вариационных принципов механики деформируемых тел, в частности теории упругости, теории оболочек и пластин, еще далеко от завершения. Отсутствует систематический анализ ( и синтез) вариационных проблем теории упругости и теории оболочек, включающий исследования как условий стационарности вариационных функционалов, так и их экстремальных свойств. [40]
Ниже для функционалов Лагранжа и Кастильяно разобрано несколько характерных примеров, которые дают представление об общей методике учета сложных граничных условий при вариационной постановке задач теории упругости и теории оболочек. Для других функционалов можно использовать эту методику, а также теорию преобразования вариационных проблем с функционалами Лагранжа и Кастильяно в качестве исходных пунктов, а для теории оболочек - статико-геометрическую аналогию в вариационной форме ( гл. [41]
Выше говорилось, что вариационные проблемы подразделяются на свободные ( без дополнительных условий) и на вариационные проблемы условного экстремума при наложении на функции, от которых зависит функционал, дополнительных условий. Функционалы, соответствующие свободным вариационным проблемам, будем называть полными, а вариационным проблемам на условный экстремум - частными. [42]
Введение этой релейной управляющей функции позволяет считать управления двигателей 1 и 2 независимыми. Регулировочные (1.4) и весовые (1.5) характеристики двигателей 1 и 2, как обычно, замыкают вариационную проблему. [43]
 |
Взаимосвязь полного и частных функционалов в основном пространстве состояний. [44] |
Отсюда ясно, какое большое число различных функционалов еще может быть привлечено с помощью теории преобразования вариационных проблем в активную область анализа и расчета. [45]
Страницы: 1 2 3 4