Cтраница 4
Методы численного решения вариационных задач разделяются на прямые и непрямые. Основу первых составляют различные итерационные процессы последовательного уменьшения ( увеличения) функционала; для применения непрямых методов вариационная проблема предварительно сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений. [46]
Для отыскания критических чисел Рэлея и критических движений можно использовать прямые методы математической физики, в частности, методы Ритца и Бубнова - Галеркина. Важное преимущество этого метода состоит в том, что он может быть эффективно использован для решения задач, не связанных с вариационными проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости конвективных движений, рассматриваемая в гл. [47]
В - В, вместе с тем В - это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В - оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [48]
Математическая связь состоит в том, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения, описывающего поведение данной механической системы, оказывается эквивалентным проблеме отыскания функции, минимизирующей определенный интеграл, которым выражается потенциальная энергия системы. Если иметь в виду, что минимизация определенного интеграла ( функционала) является предметом вариационного исчисления, можно сказать, что решение краевой задачи или задачи Коши для дифференциального уравнения эквивалентно решению соответствующей вариационной проблемы. [49]
При проведении квантовомеханических расчетов молекул, даже очень больших, нам необходимо по возможности выяснить степень соответствия между каждой стадией приближения и точным решением уравнения Шредингера. Когда мы рассчитываем системы с 10 я-электронами ( например, молекулу нафталина) и считаем, что остальные 58 электронов каким-то образом объединены в остов, то на первый взгляд кажется, что о строгости расчета не может быть и речи: вариационной проблемой является проблема 68 электронов, а не десяти. [50]