Cтраница 3
Для нас будет важно определение меры на произведении пространств, отражающее свойство независимости их элементов. [31]
Фреше [1910] первым рассматривал ( конечное) декартово произведение абстрактных пространств. Конечные и счетные произведения метрических пространств принадлежат к топологическому фольклору 20 - х годов. Теорема 2.3.23 была доказана Тихоновым [1930], а теорема 2.3.26 - Александровым [1936]; связанные с ними результаты имеются в упр. [32]
Заметим, наконец, что характерйзации в терминах произведений пространств в принципе тоже могут оказаться вычислимыми. В самом деле, если бы можно было указать, насколько быстро объединение первых п множеств в данном представлении приближается к счетному объединению, можно было бы дать алгоритм для решения ( за заданное число операций) того, лежит ли данная точка в е-окрестности рассматриваемого множества. [33]
Если координатные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетностн, то произведение пространств удовлетворяет первой аксиоме счетности. [34]
С другой стороны, комплексное проективное пространство Рп, произведение комплексных проективных пространств не являются голоморфно полными комплексными многообразиями. На них в силу теоремы Лиувилля все голоморфные функции сводятся к постоянным и, следовательно, они голоморфно неотделимы. [35]
В этом параграфе мы рассмотрим связь между интегралами по произведению пространств и интегралами по множителям. [36]
Эта теорема легко следует из установленной выше связи между произведениями пространств и понятием независимости. [37]
Однородный многочлен Р веса л определяется своими значениями на л-мерных декартовых произведениях проективных пространств. [38]
Так как меры щ и ц2 cr - конечны, то произведение пространств разложимо на счетную сумму прямоугольников со сторонами конечной меры. Следовательно, без ограничения общности мы можем предположить, что исходные меры конечны. Поэтому еМ содержит все измеримые прямоугольники, а следовательно, поле конечных сумм таких прямоугольников. Но по теореме о монотонной сходимости класс замкнут относительно предельного перехода в неубывающих последовательностях, а по теореме о сходимости мажорируемой пос ледов атечьности и в силу конечности мер Ж1 замкнут относительно предельного перехода в невозрастающих последовательностях. Следовательно, по 1.6 этот класс содержит произведение а-полей х 2, и равенство интегралов доказано. Конечная функция множеств ц, определенная таким образом на, является в силу теоремы о монотонной сходимости мерой. По теореме о продолжении мер доказанная формула однозначно определяет эту меру. [39]
Объединение ( несвязное) и произведение топологических пространств определяют сумму и произведение градуированных пространств. [40]
Доказательство непосредственно следует из теоремы Дьедонне и из того, что произведение паракомпактпого пространства на бикомпактное пространство парако. [41]
Аналогично доказываются теоремы о квазисжатой и сжатой устойчивости разностной системы в произведении пространств. [42]
Пусть f ( x, у) - интегрируемая функция на произведении пространств ( X, лх) и ( Y, цу), где меры цх и цу полны и а-аддитивны. [43]
В этом пункте будет доказана принадлежащая советскому математику А. Н. Тихонову теорема о бикомпактиостн произведения пространств, играющая центральную роль в теории бикомпактных пространств и являющаяся одной из фундаментальных теорем общей топологии. [44]
Нетрудно, комбинируя теорию конечномерных произведений с теорией бесконечномерных произведений, построить произведения пространств, в которых конечное число множителей обладает не вполне конечной, а лишь а-конечной мерой. [45]