Cтраница 3
Аналогично смешанное произведение 2xtXj возникает всякий раз, когда L содержит и i и Xj с коэффициентом 1, а это случается К раз для каждой пары х, Xj. Таким образом, коэффициенты при всех членах совпадают, и тождество ( 4) доказано. Разумеется, матричное соотношение ( 3) и квадратичное тождество ( 4) равносильны. [31]
Смешанное произведение некомпланарных векторов а, Ь и с по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка а, Ь, с правая, и отрицательно, если она левая. [32]
Смешанное произведение некомпланарных векторов а, Ь и с по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка а, Ь, с правая, отрицательно, если она левая. [33]
Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b и с по модулю, ровно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. [34]
Смешанное произведение обычных векторов в случае, когда два сомножителя совпадают, равно нулю, ибо в этом случае параллелепипед, натянутый на эти векторы, вырождается в параллелограмм, и, следовательно, его объем равен нулю. Поэтому естественно ожидать, что указанное равенство справедливо и для вектора V. Это правдоподобное рассуждение можно превратить в математически обоснованное и, тем самым, имеющее доказательную силу, если доказать, что символический вектор V на самом деле обладает использованными нами свойствами, аналогичными соответствующим свойствам обычных векторов. [35]
Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. [36]
Смешанным произведением аЬс упорядоченной тройки а, Ь, с некомпланарных векторов, лежащих в ориентированном пространстве, называется число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда с ребрами ОАа, ОВ Ь, ОС с ( О - произвольная точка) и которое положительно, если тройка а, Ь, с - правая, и отрицательно, если тройка а, Ь, с - левая. [37]
Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других. [38]
Рассмотрим смешанное произведение ( а, х, у), в котором первый сомножитель зафиксирован, а два других меняются. [39]
Тогда смешанное произведение ( а, Ь, х) является линейной формой вектора х, так как в силу свойств смешанного произведения ( гл. [40]
Если смешанное произведение равно нулю, то векторы a... [41]
Поскольку смешанное произведение а ( Ь х с) не меняется при циклической перестановке векторов ( и меняет знак при - не циклической) - объем параллелепипеда тот же самый, знак определяет ориентация. [42]
Найдем смешанное произведение данных векторов; его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на данных векторах. Искомый объем пирамиды представляет одну шестую часть объема этого параллелепипеда. [43]
Результатом смешанного произведения является число. [44]
Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов а, Ь и с равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-множителях. [45]