Cтраница 4
Полугруппа S называется подпрямо неразложимой, если любое ее представление в виде подпрямого произведения оказывается тривиальным. Как и любая универсальная алгебра, всякая полугруппа разложима в подпрямое произведение подпрямо неразложимых полугрупп. Класс полугрупп УС называется замкнутым относительно прямых [ подпрямых ] произведений, если для любого семейства JP-полугрупп прямое [ подпрямое. [46]
Алгебра В называется подпрямо неразложимой, если любое ее представление в виде подпрямого произведения тривиально. [47]
Га / Фр ограничены числом г. Следовательно, Га / Еа изоморфна подпрямому произведению нильпотентных групп с ограниченным в совокупности классом нильпотентности, так что и Га / Еа - нильпотентная группа. Но Га имеет конечный ранг, и поэтому T / T ( g) нильпотентны и имеют класс нильпотентности, не больший г. Единица Га совпадает с пересечением некоторых rj ( g), так что и Га - нильпотентная группа класса г. Пусть теперь ja - ядро представления Г относительно Ga. По предыдущему, факторгруппа r / ja нильпотентна класса г. Но поскольку пересечение всех ja совпадает с единицей в Г, то и Г - нильпотентная группа. [48]
В связи с изучением свойств сумм конечных автоматов представляет интерес изучение условий транзитивности подпрямых произведений конечных групп подстановок. В работе [3] были рассмотрены подпрямые произведения групп, имеющих единственный нормальный делитель. Настоящая статья посвящена изучению условий транзитивности подпрямого произведения примитивных групп подстановок. [49]
Согласно теореме Биркгофа из - универсальной алгебры, всякая алгебра любого многообразия изоморфна подходящему подпрямому произведению подпрямо неразложимых алгебр из этого многообразия. Мы сначала докажем, что в многообразии дистрибутивных решеток подпрямо неразложимая решетка не может иметь более двух элементов, а затем установим изоморфизм между произвольным прямым произведением двухэлементных решеток и решеткой всех подмножеств подходящего множества. [50]