Cтраница 1
Альфорс приводят затем пример гомеоморфного отображения окружности на себя, удовлетворяющего этому условию и переводящего. На этом мы кончаем построение примеров. [1]
Альфорса в точечном случае, выражается, как мы видели [ соотношение ( 53) гл. [2]
Альфорса) подойти к изучению нерегулярно исчерпываемых римановых поверхностей, для которых теоремы, соответствующие, например, теореме Пикара или теореме о дефекте, представляются в ином виде. [3]
Альфорсу 1), основана на метрико-топологическом исследовании римановых поверхностей. Она открывает новые пути для теории функций и применяется не только к аналитическим функциям, но и к более общим внутренним отображениям, называемым псевдо-аналитическими, или квазиконформными, отображениями. [4]
Альфорсом для односвязных регулярно исчерпываемых поверхностей. [5]
Альфорсом [1] и являющаяся аналогом логарифмич. [6]
Лекции Альфорса хорошо отражают присущие ему глубину исследований и исключительную ясность изложения. [7]
Теория Альфорса в отличие от теории Неванлинны весьма геометрическая по своему характеру, и ее методы распространяются на квазиконформные-отображения. Тем не менее мы ограничимся здесь простейшим случаем, поскольку обобщения вызывают большие осложнения, хотя и не требуют привлечения существенно новых идей. Однако даже простейшие приложения обнаруживают поразительную и до некоторой степени неожиданную связь между результатами в теории функций комплексной переменной, такими, ка к теорема Пикара, и топологией и дифференциальной геометрией поверхностей. Так, два исключительных значения, допускаемые в теореме Пикара, соответствуют числу 2, которое входит в формулу Эйлера - Пуанкаре для характеристики поверхности. [8]
Теория Альфорса, в сущности, скорее метрическая, чем аналитическая, по своему характеру, может быть применена к более общим отображениям, чем мероморфные, например к таким, как квазиконформные отображения. Аль-форс применил свою теорию также к отображениям рима-новых поверхностей, отличных от сферы, в любые другие. [9]
Выводы теории Альфорса столь поразительны, что читатель будет готов преодолеть в известной степени сложные и длинные доказательства. [10]
Основным здесь является результат Альфорса [1] и Берса [1], решающий проблему модулей - это возможность ввести на пространстве Т ( р, п) ( является клеткой вещественной размерности 6 / 7 - 6 2л) комплексную аналитическую структуру. Причем структура, согласованная с метрикой (9.2), единственна. Изучение этих вопросов тесно связано с общей теорией униформиза-ции римановых поверхностей. [11]
Из этой формулировки теоремы Альфорса видно, что бесконечное число сторон фундаментального полиэдра Р ( G) с Я3 конечно порожденной дискретной группы G с & % 2 накапливается к точкам из P PnA ( G), не лежащим на границе плоской фундаментальной области группы G. Сферическая мера этого множества Р, как показали Альфорс и Сулливан, равна нулю. Более того, существует гипотеза, что множество Р конечно. [12]
Равенство ( А) Альфорса соответствует первой основной теореме Неванлинны ( гл. [13]
Что касается второй теоремы Альфорса, то из вида правой части неравенства ( II) или ( 1) можно заметить, что наиболее интересным является тот случай, когда при исчерпании римановой поверхности () число S становится бесконечно большим относительно L. Из ( 18) вытекает, что только случай ( 2) 2 может привести к регулярному исчерпанию. [14]
Из соотношения ( Вх) Альфорса мы получим путем интегрирования основную теорему Неванлинны. Хотя ( Bj) справедливо для любой функции f ( z), мероморфной в z R, и для любого г R ( подобно тому, как соотношения ( А) и ( В) Альфорса справедливы для любой римановой поверхности), метод, которому мы будем следовать и который указан А. Дингасом), дает возможность перейти от ( Bj) к основной теореме Неванлинны только в случае функций, мероморфных на всей плоскости. [15]