Cтраница 2
В более общем случае цель и ограничения определяются заданием расплывчатого множества в пространстве отображений при действии оператора / на множестве решений или альтернатив. [16]
Пусть Т - топологическое пространство, a J - конечное множество; обозначим через TJ пространство всевозможных отображений J - Т с топологией декартова произведения. [17]
В § 8.2 изучаются три операции на равномерных пространствах: рассматриваются подпространства, декартовы произведения и пространства отображений. В отличие от метрических пространств произведение любого семейства равномерных пространств является равномерным пространством, поэтому нет нужды вводить ограничения на мощность семейства. Равномерности в пространствах отображений позволяют определить понятие равностепенно непрерывного семейства отображений и доказать аналоги классической теоремы Асколи. [18]
Выведите отсюда, что для каждого метризуемого компакта X пространство 2х с топологией Вьеториса вложимо в пространство отображений Rx с компактно-открытой топологией. Установите, что оба условия - метризуемость и компактность пространства X - являются существенными ( ср. [19]
Доказательство следствия 3.18. Так как ( М, g) сильно причинно, то эта группа по теореме 3.17 совпадает с пространством гладких гомотетических отображений М на себя, сохраняющих ориентацию во времени. [20]
Некоторые основные разделы общей топологии ( не вошедшие в эту книгу из-за ее объема), а именно: элементарная теория размерности, теория пространств отображений, равномерные пространства н пространства близости, продолжение теории расширений и теория абсолютов, а также элементы топологической алгебры - предполагается издать в виде второй части настоящей книги. [21]
Если i: Y - Z - гомеоморфное вложение, то Ф: YX - ZX также есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений. У - - Уг есть сужение. Вообще говоря, отображение W - не является ни инъективным, ни отображением на, так как некоторые элементы пространства YT могут не допускать продолжения на все пространство X. Yx - YT есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости, а когда У R - относительно топологии равномерной сходимости. [22]
Гомеоморфизмы в так называемой С - топологии неустойчивы среди всех непрерывных отображений, в отличие от диффеоморфизмов, которые в С1 - топологии образуют открытую область в пространстве отображений. Однако даже диффеоморфизм, С 0-близкий к тождественному, может быть очень сложен, и его весьма трудно продеформировать в единичный среди гомеоморфизмов. Это обстоятельство сыграло, как будет указано ниже, важную роль в топологии. В конце 1960 - х гг. был найден подход к доказательству гипотезы кольца сведением к гладкой ( Р1) - топологии гомотопических торов ( Керби); необходимые задачи из теории гомотопических торов почти сразу были решены Уол-лом, Зибенманом, Сяном, Шейнсоном и Кассоном. Изложим здесь идею Керби. [23]
Докажите, что для любых топологических пространств X, Y, Z экспоненциальное отображение Л: У2х - о ( улуг есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений. [24]
Для каждой пары X, Z топологических пространств и произвольного локально компактного хаусдорфова пространства Y композиция 2: ZY X Yx - - Zx является непрерывным отображением по отношению к компактно-открытой топологии на пространствах отображений. [25]
Имеются множества X, Y, Z, случайная величина р, область значений которой содержится в множестве Yx отображений из X в У, и случайная величина ф, область значений которой содержится в пространстве ZY отображений из Y в Z. Распределение случайной величины р фиксировано, распределение случайной величины ф определяется параметром в Е В. Требуется по значению F, принятому случайной величиной Ф ф о ( р определить значение параметра в. [26]
Для каждой пары X, Z хаусдорфовых пространств и произвольного топологического пространства Y экспоненциальное отображение Л: Y ( z х Х) - ( Yx z является гомео-морфным вложением по отношению к компактно-открытой топологии на пространствах отображений. [27]
Если X и Z - хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности, то для каждого топологического пространства Y экспоненциальное отображение Л: У ( ХХ) - ( У) является гомеоморфизмом по отношению к компактно-открытой топологии на пространствах отображений. [28]
Из теорем, доказанных выше, следует, что механизм возникновения как унитарной, так и ортогональной периодичности - один и тот же, а окончательный результат зависит только от того, на каком пространстве мы рассматриваем многомерный функционал Дирихле; в случае пространства отображений двумерных дисков мы получаем унитарную периодичность, а в случае пространства отображений восьмимерных дисков - ортогональную. [29]
Это семейство, называемое гомотопи-е и, связывающей f с g, является путем в пространстве Ф ( Х, У) всех непрерывных отображений Х - У, связывающим точку / с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения быть связанным непрерывным путем. Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы ( они наз. F ( x, t) ft ( x), определенное формулой F: XX [ О, 1 ] - - У ( это отображение также часто наз. [30]