Cтраница 4
В § 4.2 определяются и изучаются операции на метрических пространствах. Мы доказываем, что подпространства, суммы и счетные декартовы произведения метризуемых пространств мет-ризуемы. Более того, показано, что для топологического пространства X пространство отображений Rx, наделенное топологией равномерной сходимости, метризуемо. Приводятся также несколько условий, достаточных для метризуемости факторпро-странств, пределов обратных спектров и пространств отображений, наделенных компактно-открытой топологией. Параграф завершается определением метрики на множестве всех ограниченных отображений топологического пространства в метрическое пространство, что в свою очередь приводит к определению топологии равномерной сходимости в этой более общей ситуации. [46]
Ck - в л о ж е н и е м, если f ( X) есть С - подмногообразие в У, а X - - f ( X) - С - диффеоморфизм. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений Ck ( X, R2n 1) относительно компактно-открытой топологии. [47]
Всякая плоскость либо вовсе не имеет общих точек с данной сферой, либо имеет с этой сферой только одну общую точку, либо пересекает сферу по окружности. Отсюда следует, что всякая плоскость либо вовсе не пересекает данный эллипсоид, либо имеет с ним только одну общую точку, либо пересекает его по эллипсу. Так как при этом все окружности подобны, а при аффинном преобразовании пространства отображения, претерпеваемые параллельными плоскостями, совпадают с точностью до параллельного переноса, то получаем, что сечения эллипсоида параллельными плоскостями суть подобные параллельно расположенные эллипсы ( черт. Поэтому и геометрическое место центров эллипсов, получаемых при пересечении эллипсоида параллельными плоскостями, есть хорда эллипсоида, проходящая через его центр ( черт. Эта хорда, как и вся содержащая ее прямая, называется диаметром эллипсоида, соответствующим секущим плоскостям данного наклона. Всякая хорда эллипсоида, проходящая через его центр, есть диаметр, соответствующий секущим плоскостям некоторого наклона, так как это верно для сферы. Только у сферы секущие плоскости перпендикулярны к соответствующему им диаметру, а у произвольного эллипсоида, вообще говоря, не перпендикулярны. [48]
Если А не компактно, то пространство отображений удобно снабжать тонкой топологией. В этой топологии окрестность отображения /: А - В определяется следующим образом. Такие непустые открытые множества берутся в качестве базиса окрестностей, задающих тонкую топологию в пространстве бесконечно-дифференцируемых отображений. [49]
Фактически в большинстве случаев гомотопия предполагается достаточно гладкой. В связи с этим возникает очень интересная проблема - являются ли все входящие в это пространство отображения гомотопными друг другу. [50]
Совокупность % всех возможных конфигураций, ясное дело, бесконечномерна. Те конфигурации, для которых гипотеза упругости может служить полезным приближением, очевидно, никогда не будут составлять всего пространства отображений B - R3; поэтому е будет областью в этом функциональном пространстве, а не всем пространством. [51]
Пространство отображений Yx, как правило, не является связным для связных пространств X и У. Исследование условий связности пространств отображений приводит к важым результатам. Оно требует, однако, специальных методов, не развиваемых в этой книге. Так как для гомеоморфных подпространств ь Х2 пространства Rn пространства отображений ( S - 1) 1 и ( S - 1) гомеоморфны, получается, что S Xi связно в том и только том случае, если связно SnX2. [52]