Пространство - строка
Cтраница 3
В то же время верно и противоположное утверждение: пространство строк содержит все ортогональные к нуль-пространству векторы. Это не столь очевидно из построения, поскольку, решая систему Лх0, мы начинали с пространства строк и находили все векторы х, ортогональные к нему. [31]
Выбор осуществляется по следующему правилу: оптимальным среди всех решений системы Ах - р является решение с минимальной длиной. Это означает, что любой вектор может быть разложен на две перпендикулярные составляющие - проекцию на пространство строк и проекцию на нуль-пространство. Тогда л: х, - f - w, где хг принадлежит пространству строк, a w - нуль-пространству. [32]
Теперь же мы знаем, что все базисы имеют одно и то же число членов. Следовательно, ранг г матрицы А может быть определен по-новому: рангом матрицы А является размерность ее пространства строк. [33]
Обычно подпространства описывают одним из двух способов. Первый способ-это когда задается множество векторов, порождающих данное подпространство; так, например, обстояло дело с пространством строк или пространством столбцов, когда указывались порождающие строки или столбцы. Нуль-пространство, например, состоит из всех векторов, удовлетворяющих системе Ах0, и каждое уравнение этой системы представляет собой такое ограничение. При описании подпространства первым способом могут оказаться лишними некоторые строки или столбцы, а при втором-некоторые ограничения. В обоих случаях, для того чтобы можно было выписать базис, необходим некоторый систематический подход. [34]
Это так, поскольку каждая элементарная операция оставляет неизменным пространство строк. Каждая строка в новой матрице U является линейной комбинацией строк исходной матрицы А, и потому новое пространство строк содержится в старом, а так как каждый шаг исключения может быть обращен с помощью другой элементарной операции, то старое пространство строк также содержится в новом. [35]
 |
Действие матрицы А. [36] |
Если вектор Ь принадлежит пространству столбцов, то он является некоторой комбинацией Ах столбцов матрицы А. Поэтому вектор х - х г принадлежит как пространству строк, так и нуль-пространству. [37]
Выбор осуществляется по следующему правилу: оптимальным среди всех решений системы Ах - р является решение с минимальной длиной. Это означает, что любой вектор может быть разложен на две перпендикулярные составляющие - проекцию на пространство строк и проекцию на нуль-пространство. Тогда л: х, - f - w, где хг принадлежит пространству строк, a w - нуль-пространству. [38]
Нуль-пространство, конечно, перпендикулярно к пространству строк. Но это еще не все: 91 ( А) содержит все ортогональные к пространству строк векторы. [39]
Ранее в этой книге ( в процессе исключения и задачах на собственные значения) основное внимание уделялось элементарным операциям, которые делают исходную матрицу проще. В каждом из этих случаев самым важным для нас было знать, какие свойства матрицы остаются неизменными. Когда кратное одной строки вычиталось из другой, список таких инвариантов был достаточно большим: нуль-пространство, пространство строк, ранг и определитель матрицы оставались теми же самыми. [40]
Мы должны подчеркнуть, что два подпространства V и W могут быть ортогональными и не быть ортогональными дополнениями друг к другу. Прямая V может быть только частью подпространства W -, потому что ее размерность меньше размерности WL. При соответствующих размерностях два ортогональных подпространства обязательно являются ортогональными дополнениями друг к другу, как было в случае пространства строк и нуль-пространства. [41]
К произведению матриц L и U мы применим утверждение ( И) для пространства столбцов произведений: пространство столбцов матрицы А LU содержится в пространстве столбцов матрицы L. Мы знаем, что пространство столбцов матрицы А имеет размерность г. Так как матрица L имеет только г столбцов, то ее пространство столбцов не может быть больше пространства столбцов матрицы А и, следовательно, эти два пространства столбцов совпадают. Матрица L имеет то же пространство столбцов, что и матрица А, а матрица U имеет то же пространство строк, что и матрица А. [42]
Одна разумная идея заключается в следующем: сделать столбцы матрицы А строками новой матрицы, и тогда мы вновь будем иметь дело с пространством строк. Так как столбцы матрицы Л являются строками матрицы Лт, то последняя будет прямоугольной матрицей размера пхт. ЛТ) порождается вектор-столбцами ( столбцы матрицы Лт являются строками матрицы Л, записанными вертикально), и поэтому теперь даже понятие пространства строк отвечает соглашению о том, что векторы должны записываться вертикально. [43]
В то же время верно и противоположное утверждение: пространство строк содержит все ортогональные к нуль-пространству векторы. Это не столь очевидно из построения, поскольку, решая систему Лх0, мы начинали с пространства строк и находили все векторы х, ортогональные к нему. R ортогонален к нуль-пространству, но не содержится в пространстве строк. Тогда, добавляя вектор г в качестве строки к матрице Л, мы тем самым расширим пространство строк, не изменяя нуль-пространство. [44]
Целью этой книги является рассмотрение некоторых прикладных разделов теории матриц. Излагаемая здесь теория принципиально ничем не отличается от стандартных курсов абстрактной линейной алгебры, но сейчас для нас самое главное, что рассматриваемая теория действительно важна для приложений. Разница состоит в том, что переместился центр тяжести в соответствии с новой точкой зрения. Метод исключения Гаусса - это теперь не только способ нахождения базиса пространства строк, а процесс Грама - Шмидта-не просто способ доказательства, что каждое подпространство имеет ортонормированный базис. Напротив, нам действительно нужны эти алгоритмы и нужно удобное описание ( А LU или А QR) того, что они делают. [45]
Страницы: 1 2 3 4