Cтраница 1
Пространства Гильберта можно определить абстрактно в терминах скалярного произведения без упоминания функций подобно тому, как можно определить векторное пространство, не имея в виду какой-либо реализации векторов. В этом параграфе мы коснемся начал теории гильбертовых пространств. [1]
Пространство Гильберта, которому посвящена настоящая книга, является важным частным случаем пространства Банаха, так как в нем, кроме расстояния между двумя элементами, имеется также скалярное произведение. [2]
Свойство пространства Гильберта L2, установленное в этой теореме, называют полнотой, этого пространства. Читатель конечно заметил, что теоремы 4 и 5 являются аналогом известного признака сходимости Больцано-Коши. [3]
Размерностью пространства Гильберта называют мощность полной ортонормированной системы в нем. [4]
Характерной чертой пространства Гильберта является его бесконечномерность. Это, в частности, значительно затрудняет проверку полноты ортогональной системы функций. [5]
Данное нами определение пространства Гильберта носит аксиоматический характер. Требованиям, которые оно содержит, удовлетворяют различные конкретные линейные системы. Поэтому часто Н называют абстрактным пространством Гильберта, а упомянутые конкретные системы называют реализациями этого абстрактного пространства. [6]
Наличие в некотором пространстве Гильберта несчетного множества векторов, попарно ортогональных и нормированных, является признаком того, что пространство не сепарабельно. [7]
Существуют, однако, несепарабельные пространства Гильберта, например пространство почти периодических функций. В этих пространствах всякая полная ортонормальная система несчетна. В этой книге несепарабельные гильбертовы пространства не встречаются. [8]
Совокупность таких векторов называется обычно пространством Гильберта, который впервые изучал такое пространство. [9]
Ссшокупность таких векторов называется обычно пространством Гильберта, который впервые изучал такое пространство. [10]
Доказать, что / 2 является пространством Гильберта. [11]
Всякие две полные ортонормированные системы в пространстве Гильберта имеют одну и ту же мощность. [12]
Понятие нормы позволяет ввести понятие предела в пространстве Гильберта при помощи почти тех же выражений, что и в обычном случае числовой прямой. [13]
В связи с этим и / 2 называется пространством Гильберта. [14]
Из сказанного следует, что G само является пространством Гильберта, если оно содержит бесконечное число линейно независимых элементов, и пространством Евклида в противном случае. [15]