Cтраница 4
В настоящей главе дается краткое изложение некоторых основных вопросов спектральной теории линейных самосопряженных операторов в абстрактном пространстве Гильберта. Как мы уже отмечали, эта теория доведена в настоящее время до высокой степени совершенства и может быть изучена по многим руководствам. Поэтому эта часть главы в основном изложена без доказательств и может служить в качестве первого ознакомления с абстрактной спектральной теории в пространстве Гильберта ( читатель, знакомый с этой теорией, например, в объеме книги Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [1] или Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [1] или В. И. Смирнова, том V, изд. [46]
Поскольку в приложениях функциональною анализа приходится иметь дело с линейными операторами, действующими из некоторого конкретного пространства X в другое Y, весьма важным представляется знание общего вида оператора для того или иного случая. Вместе с тем, за исключением немногих случаев, даже для классических пространств X, Y ( например, когда X и Y - пространства Гильберта) общий аналитический вид линейного непрерывного или вполне непрерывного оператора не известен. [47]
Кроме перечисленных выше, существует много других нетривиальных орбит. Любую конфигурацию решетки /, для которой Ф не содержится в уже построенных орбитах, можно использовать для создания новых орбит. Применяя эту процедуру, можно исчерпать запас состояний конфигураций решетки и найти все орбиты оператора V. Все сказанное легко перевести на язык стандартного пространства Гильберта. Гильбертово пространство решетки У, натянутое на все состояния конфигураций, можно разложить на множество замкнутых подпространств, которые нетривиальны и неприводимы относительно оператора V и находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами. Каждое подпространство натянуто на состояния соответствующей орбиты. [48]
Из сказанного выше и свойств преобразования Лапласа следует, что такую задачу можно решать как обычную задачу линейного программирования с той только разницей, что вместо чисел в нашем случае надо сравнивать предельные значения изображений соответствующих функций или их оценок. Далее, оказывается, что для оптимального решения эта полная система уравнений должна соблюдаться вплоть до момента времени Т, после которого впервые нарушаются оставшиеся ограничения. Это следует из постоянства весовых коэффициентов и некоторых теорем из теории линейного программирования в пространстве Гильберта. [49]