Cтраница 3
Весьма важная теорема анализа - теорема Больцано - Вейер-штрасса - устанавливает, что в конечномерном пространстве является компактным всякое бесконечное ограниченное множество точек. Эта теорема оказывается несправедливой для пространства Гильберта, если имеется в виду сильная сходимость. Это множество ограничено, но никакая его последовательность не является сильно сходящейся. [31]
Заметим, что введенные понятия являются, если можно так выразиться, более абстрактными, чем те, с которыми мы встречались до сих пор. Они называются, соответственно, пространствами Гильберта и Банаха. Исследование многих задач существенно упрощается, если удается показать, что они связаны с одним из названных пространств. Ниже мы разъясним сказанное на примерах. [32]
В трехмерном евклидовом пространстве простейшей после проектирования операцией является вращение пространства - операция, которая не изменяет длин векторов и углов между ними. Мы рассмотрим аналогичную операцию в пространстве Гильберта. [33]
В таком виде условие эрмитовости оператора очень напоминает условие симметрии тензора. Но так как векторы в пространстве Гильберта комплексные, вместе с перестановкой значков следует произвести комплексное сопряжение. [34]
Значит L2 есть метрическое пространство. Гильберт, почему L2 часто называют пространством Гильберта. [35]
Понятие вектора с комплексными значениями компонент в n - мерном пространстве может быть обобщено на случай пространства бесконечного числа измерений, п - оо. Пространство с бесконечным числом измерений, для которого справедливо определение ( 45 28) квадрата длины отрезка, называется пространством Гильберта. Вектор в пространстве Гильберта имеет бесконечное число компонент, каждая из которых может быть как вещественной, так и комплексной. [36]
Матрица, обладающая таким свойством, называется эрмитово симметричной. Пространство, определяемое бесконечным набором функций ср, с метрикой, определенной равенством (2.2.4), и с другими свойствами, которые будут описаны ниже, называется пространством Гильберта. [37]
Настоящая глава посвящена спектральной теории некоторых классов вполне непрерывных операторов. Являясь прямым и легко обозримым обобщением соответствующих разделов линейной алгебры и элементарной теории интегральных уравнений, спектральная теория вполне непрерывных операторов представляет наиболее естественное введение в общую спектральную теорию операторов в пространстве Гильберта. [38]
Понятие вектора с комплексными значениями компонент в n - мерном пространстве может быть обобщено на случай пространства бесконечного числа измерений, п - оо. Пространство с бесконечным числом измерений, для которого справедливо определение ( 45 28) квадрата длины отрезка, называется пространством Гильберта. Вектор в пространстве Гильберта имеет бесконечное число компонент, каждая из которых может быть как вещественной, так и комплексной. [39]
Планирование эксперимента в функциональном ( гильбертовом) пространстве является обобщением планирования эксперимента в конечномерном евклидовом пространстве. Здесь функция представляет собой континуум факторов. Она изображается точкой в пространстве Гильберта. В виде некоторой области в этом пространстве вводится ограничение на варьируемые функции. Далее предполагается, что можно задать на данной области нормированную вероятностную меру. Область в совокупности с вероятностной мерой составляет непрерывный нормированный план. Для этого плана применительно к конкретному типу модели может быть выписана нормированная информационная матрица, свойства которой те же, что и ранее. [40]
Последовательность векторов х С czli называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию для всех е 0 существует N / V ( е) такое, что для любых щ, пг N ( в) выполняется неравенство xni Xn. Пространство It называется полным, если любая фундаментальная последовательность векторов этого пространства имеет предел Хц. Полное линейное векторное пространство со скалярнь пройзв дением называется пространством Гильберта и обозначается буквой Я. [41]
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта. [42]
При построении спектральной теории вполне непрерывных операторов полнота пространства, как мы ниже увидим, используется не всюду. С другой стороны, при отказе от требования полноты область приложений теории расширяется. Поэтому в настоящей главе наряду с предложениями, относящимися к операторам в пространстве Гильберта Н, будет установлен ряд предложений относительно операторов в произвольной линейной метризованной системе R. К числу этих предложений относятся также две леммы, которым посвящен настоящий пункт. [43]
Гильбертово пространство есть функциональное пространство квадра-тической сходимости в среднем. С геометрической точки зрения нормированные пространства являются обобщением на бесконечномерный случай пространств Минковского, подобно тому как пространство Гильберта является обобщением евклидова пространства. Банаха особо отметим С. [44]
В частности, старейшим разделом функционального анализа надо считать вариационное исчисление, которое является дифференциальным - исчислением над функционалами. Один из разделов функционального анализа образует теория интегральных уравнений, созданная в предыдущий период, тогда же были введены пространство Гильберта и пространства Ln. Рисе ( 1880 - 1956, Венгрия) показал, что все основные результаты Фредгольма по интегральным уравнениям остаются в силе для широкого класса уравнений в линейных операторах. В - этой работе Рисса уже налицо то сочетание топологических, алгебраических и аналитических представлений, которое мы видим и в теории полных нормированных пространств, развитой в двадцатые годы С. Банахом ( 1802 - 1945, Польша) и его школой - теории пространств Бапаха. [45]