Cтраница 4
Касательную плоскость можно сначала рассматривать совершенно независимо от искривленной поверхности - так сказать, снять ее с этой поверхности и положить рядом. Искривленная поверхность отнесена к координатам хр на ней господствует инвариантность относительно группы всех непрерывных преобразований этих координат. Касательная плоскость представляет собой линейное векторное пространство с выделенным началом, отнесенное к нормальному реперу; на ней господствует инвариантность относительно произвольных поворотов нормальных реперов - относительно группы преобразований Лоренца; при этом повороты локальных реперов в различных точках искривленной поверхности независимы. Для аналитического представления явлений природы нам требуется не только система координат в нашем мире, но и такие локальные реперы, которые в каждой точке произвольно выбраны из бесконечно многих равноправных Нормальных реперов. Однако на самом деле касательная плоскость в точке Р не отделена от искривленного многообразия, а вложена в него. [46]
В квантовой механике используются унитарные векторные пространства, как бесконечномерные, так и с конечным числом измерений. Математической основой для наиболее общей формулировки законов квантовой механики являются бесконечномерные полные унитарные пространства с конечной нормой для всех векторов. Таким образом, гильбертово пространство есть бесконечномерное полное линейное векторное пространство со скалярным произведением и конечной нормой. Сложные математические вопросы полноты мы оставляем без рассмотрения. Далее полнота обеспечивается во всех необходимых случаях. [47]
Однако эти собственные векторы заведомо не могут составить полную систему линейно независимых векторов для образования базиса векторного пространства, поскольку пространство бесконечномерно. Во-вторых, наличие совокупности бесконечного числа ортонорми-рованных векторов в бесконечномерном линейном векторном пространстве не гарантирует полноту образованного из векторов этой совокупности базиса, потому что при вычитании из этой совокупности конечного числа векторов в ней по-прежнему остается их бесконечное число. [48]
Очевидно, С - кривая /, существование которой доказано в теореме 7.13, не единственна. Тр ( и, ф) имеется бесконечно много С - кривых, проходящих через точку Р, для которых он является касательным. Тем самым мы превратим Тр ( и, ф) в линейное векторное пространство. [49]
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Все нулевые векторы считаются равными. Введение нулевых векторов дополняет правила сложения векторов и умножения их на число таким образом, что получается модель, представляющая собой линейное векторное пространство. [50]