Cтраница 1
Компактные пространства, изучение которых является главной целью этой главы, составляют один из наиболее важных классов топологических пространств. Они определяются как пространства, каждое покрытие которых открытыми множествами содержит конечное подпокрытие. Класс компактных пространств содержит все ограниченные замкнутые подмножества евклидовых пространств, и оказывается, что многие хорошо известные свойства таких подмножеств в действительности являются свойствами всех компактных пространств. В § 3.10 изучаются три класса пространств, тесно связанные с классом компактных пространств. Эти классы совпадают с классом компактных пространств, когда мы ограничиваемся подпространствами евклидовых пространств, однако в общем случае они ведут себя не так хорошо, как класс компактных пространств. Исследование этих классов, а также класса линделефовых пространств и класса вещественно полных пространств позволяет глубже понять роль и место компактности в общей топологии. [1]
Компактное пространство метризуемо в том и только том случае, если оно удовлетворяет второй аксиоме счетности. [2]
Компактное пространство К, получаемое присоединением бесконечно удаленном точки к несчетному дискретному пространству, нполые нормально, по но совершенно нормально; всякое его подпространство паракомпактно. [3]
Любое компактное пространство псевдовогнуто. Для псевдовогнутых пространств X доказаны следующие теоремы конечности: пространство голоморфных сечений любого голоморфного векторного расслоения над А конечномерно; если X связно, то все голоморфные функции на X постоянны; поле мероморфных функции на X есть поле алгебраич. [4]
Компактное пространство X сепарабельно. [5]
Компактным пространством я называю пространство, в котором всякое бесконечное множество имеет предельную точку. [6]
Всякое компактное пространство равномеризуомо, прячем в этом случае существует только одна равномерная структура, согласующаяся с его топологией ( гл. Эта структура имеет окружениями все окрестности диагонали в Е У. [7]
Всякое компактное пространство нормально. Локально компактное пространство не обязательно нормально. Однако всякое паракомпактное пространство нормально. [8]
Всякое компактное пространство нормально. Более общим образом, если Е - отделимое равномерное пространство, а А и В - непересекающиеся компактное и замкнутое множества и Е, то существует окружение V для Е такое, что V ( А) и V ( В не пересекаются. [9]
Всякое компактное пространство регулярно. [10]
Каждое компактное пространство полно. [11]
Всякое компактное пространство абсолютно замкнуто. [12]
Локально компактные пространства, счетные в бесконечности. [13]
Счетно компактные пространства были определены и изучались раньше компактных пространств. Сначала казалось, что они составляют класс, более отвечающий сути вещей. В те времена счетно компактные пространства именовались компактными пространствами, а наши компактные пространства назывались бикомпактными пространствами. [14]
Каждое компактное пространство паракомпактно. [15]