Cтраница 1
Симметрические пространства с простыми некомпактными группами / / Докл. [1]
Симметрическое пространство М отрицательной кривизны всегда некомпактно. [2]
Симметрическое пространство, очевидно, является локально сим-митрическим, но не наоборот. [3]
Соответствующее симметрическое пространство / 74 ( 2o) / Spin ( l, 8) называется особым ( или октавным) гиперболическим пространством. [4]
Дважды симметрические пространства, естественно, являются полусимметрическими. [5]
Симметрическое пространство G / H и симметрическая алгебра g / ty называются неприводимыми, если касательное представление алгебры Ли I) неприводимо. [6]
Соответствующие симметрические пространства называются гиперболическими пространствами - вещественным комплексным, кватернионным. [7]
Симметрическое пространство отрицательной кривизны - это однородное пространство X G / / C, где G - полупростая группа Ли без центра ( если мы хотим, чтобы группа G эффективно действовала на X) или с конечным центром ( мы будем рассматривать и такие примеры; это просто означает, что группа действует не эффективно) и без компактных множителей ( любая полупростая группа есть почти прямое произведение простых; эти простые группы могут быть компактными или некомпактными; мы требуем, чтобы они все были некомпактными), / С - максимальная компактная подгруппа. В качестве К можно взять любую максимальную компактную подгруппу; есть теорема, что все максимальные компактные подгруппы сопряжены. Кстати сказать, самое понятное доказательство этой теоремы как раз основывается на геометрии симметрических пространств. [8]
Каждое симметрическое пространство является полным римановым многообразием. Повторяя такой процесс, можно неограниченно продолжать у в обе стороны. Значит, М геодезически полно, а по теореме Хопфа-Ринова 13.1, и метрически полно. [9]
Каждое симметрическое пространство является однородным римановым многообразием и тем самым - однородным пространством. Действительно, легко проверить, что его группа изометрий транзитивна. Пусть р, q Е М; соединим р с q геодезической, и пусть г - ее срединная точка. [10]
Если симметрическое пространство М / Jp имеет максимальный ранг, то внешняя 2-форма Fc на пространстве V ( и, в частности, на орбитах группы в V, гомео-морфных §), определяемая каноническим секционным оператором С-С ( а, О, 0, 0) ( 0, Ф г), порождается тензором римановой кривизны симметрического пространства. А именно имеет место равенство FC ( X i, л) 4 й, R ( X, ) л) г & е R - тензор римановой кривизны, а аеГ - фиксированный вектор. [11]
Это симметрические пространства, кривизна которых строго отрицательна. Такова гиперболическая плоскость, описанная в разд. [12]
Риманово симметрическое пространство называется пространством того же типа ( компактного, некомпактного, евклидова), что и соответствующая симметрическая алгебра Ли. Теорема о разложении для пространств выглядит так: односвязное риманово симметрическое пространство есть прямое произведение неприводимых римановых симметрических пространств, каждое из которых - одно из трех типов: компактного, некомпактного, евклидова. [13]
Для симметрического пространства 5L ( n; IR) / S 0 ( н) наша теорема близка к лемме Рагунатана [15], дащей / оценку скорости сходимости собственных подпространств положительно определенных матриц. Наше доказательство, однако, опирается на иные соображения. [14]
В симметрическом пространстве тензор кривизны параллелен и уравнение Якоби имеет постоянные коэффициенты. [15]