Cтраница 3
Итак, появляется возможность на одном и том же измеримом пространстве ( П, & -), задавая разные меры PSjX для s Е Т, ж Е Ss, выпускать марковские процессы в момент s из точки х ( РЗ. [31]
Пусть ( X, 21, [ г) - измеримое пространство и а-аддитивная мера ( I полная. Если последовательность ( г-измеримых функций ( / ( х)) 1 и функция f ( x) заданы на - измеримом множестве Л с: X и fn ( х) - - f ( x) почти всюду на А, то функция f также измерима на А. [32]
Тогда согласно результатам § 4 каждая из этих функций порождает измеримое пространство с мерой Лебега-Стилтьеса - ( [ a, b ], Mlt ц) и ( [ а, 6 ], М2, 2) соответственно. [33]
Заметим, что здесь мы впервые воспользовались тем, что измеримое пространство равно соединению всех своих измеримых множеств; в настоящей главе мы будем существенно пользоваться этим свойством измеримых пространств. [34]
Например, если ( Q, & -) - стандартное измеримое пространство, то вышеприведенное условие (4.1) выполняется. [35]
Мерой называется неотрицательная счетно-аддитивная функция множеств, определенная на некоторой а-алгебре измеримого пространства. В тех случаях, когда надо подчеркнуть особые свойства меры, например, ее конечность или т-конечность, это всегда будет особо оговариваться. Для краткости вероятностную меру часто называют просто мерой. [36]
Множество П с заданной на нем а - алгеброй Л называют измеримым пространством. [37]
Множество П с заданной на нем а - алгеброй А называют измеримым пространством. Элементы В называют борелевскими множествами. [38]
Определение 13.14. Измеримая функция / ( ж), определенная на измеримом пространстве Х: А, называется простой, если она принимает конечное число значений. [39]
Если ( Х S) и ( К, Т) - измеримые пространства, то ( ЛГХ У SXT) также представляет собой измеримое пространство. [40]
Пусть ( X, S) и ( Yy Т) - измеримые пространства, а ( XX Y, S X Т) - их декартово произведение. В тех случаях, когда существенно лишь то, что сечение определено какой-то точкой пространства X ( и, следовательно, представляет собой подмножество пространства У), а какой именно точкой - не имеет значения, мы будем также у потреблять термин Х - сечение. [41]
Пусть ( Xlt 9Ij) и ( Xz, 512) - произвольные измеримые пространства, 1, - числовая обобщенная мера на о-алгебре 2lj, г2 - обобщенная мера на о-алгебре 3t2 со значениями в полном нормированном пространстве L, и пусть ф ( д: 1, х2) - измеримая функция на произведении измеримых пространств ( Xv 3tj) и ( Л 2, Щ), принимающая числовые значения или ( когда обобщенная мера и2 является числовой) принимающая значения в полном нормированном сепарабельном пространстве У. [42]
Пользуясь термином измеримое множество, можно сформулировать условие, фигурирующее в определении измеримого пространства, сказав, что соединение всех измеримых множеств равно всему пространству или что каждая точка пространства принадлежит некоторому измеримому множеству. Цель этого ограничения состоит в том, чтобы, исключив из рассмотрения точки ( или целые участки) пространства, несущественные с точки зрения теории меры, избавиться тем самым от многочисленных очевидных оговорок. [43]
Хорошую возможность продемонстрировать примеры подалгебр дают нам метрические структуры, ассоциированные с простейшими измеримыми пространствами. Мы рассмотрим сейчас важнейшую модель: возьмем в качестве Ж упомянутую в главе II ( стр. [44]
Определение 14.1. Пусть конечная действительнозначная функция f ( x) измерима на сг-конечном измеримом пространстве ( X, М, / LX) и принимает лишь конечное число значений, причем любое ненулевое значение принимается на множестве конечной меры. [45]