Cтраница 2
Всякое отделимое равномерное пространство регулярно. [16]
Если равномерное пространство X отделимо, то его равномерную структуру называют отделимой. [17]
Понятия равномерного пространства и пространства близости можно рассматривать с двух позиций - либо как аксиоматизации некоторых геометрических объектов, близкие к понятию топологического пространства, хотя и совершенно независимые от него, либо как удобные средства изучения топологических пространств. Вейль впервые ввел равномерности, они рассматривались именно как такое средство, пригодное в отличие от метрик для изучения топологических пространств без каких-либо предположений о счетности. Близости также могут быть использованы для изучения топологий; они особенно эффективны при исследовании компактнфикаций. Бурбаки, весьма подробно излагающий в своей книге теорию равномерных пространств, подчеркивает ее независимый характер, хотя она и очень тесно связана с теорией топологических пространств. Связь между этими двумя теориями основана на том, что равномерным пространствам и равномерно непрерывным функциям ставятся в соответствие ( неким стандартным образом) топологические пространства и непрерывные отображения. Этот переход от равномерных пространств к топологическим разбивается на два этапа; промежуточное положение занимают пространства близости. [18]
Пополнение равномерного пространства ( A, U является компактом, в том и только том случае, когда ( X, 11 вполне ограничено. [19]
В равномерных пространствах тоже рассматривается расстояние между парами точек, но оно измеряется не так, как в метрических пространствах. [20]
В равномерном пространстве всякое подмно жество предкомпактного множества, всякое конечное объединение предкомпактных множеств и замыкание всякого предкомпактного множества есть превкомпактное множество. С другой Стороны, пусть X - равномерное пространство, А - предкомпакт-ное множество в X, i - каноническое отображение X в его отде лимое пополнение X; тогда i ( A) содержится в замыкании множе -; ства i ( А) в X ( гл. I, § 2, теорема 1); значит, в силу предположения замыкание множества i ( А) в X содержится в компактном множестве, а следовательно, компактно. [21]
В равномерном пространстве X относительно-компактное множество А предкомпактно, ибо содержится в компактном множестве. Напротив, даже если X отделимо, предкомпактное множество не обязательно относительно компактно в X, как это показывает случай, когда само X предкомпактно, но не компактно. [22]
В равномерном пространстве X множество AXi v тех точек, которые могут быть соединены с данной точкой х посредством V-цепи, открыто-замкнуто. [23]
В отделимом равномерном пространстве всякое полное подпространство замкнуто. [24]
Y - равномерное пространство, К - топологическое ( соотв. [25]
Y - равномерное пространство и II - равностепенно непрерывное ( соотв. [26]
Y - отделимое равномерное пространство и II - равностепенно непрерывное ( соотв. [27]
F - полное равномерное пространство и II равностепенно непрерывное ( соотв. А, для того, чтобы он сходился во всех точках х 6 Е к пределу / Л ( х) такому, что / 0 непрерывно ( соотв. [28]
Для каждого равномерного пространства ( X, W) существует ровно одно ( с точностью до равномерного изоморфизма) полное равномерное пространство ( X, CU, такое, что для некоторого плотного подмножества Ас. Более того, имеет место равенство w ( pW) w ( % [, и если ( Х, И) вполне ограничено, то ( X, ( U также вполне ограничено. [29]
Топология получающегося равномерного пространства совпадает с исходной топологией группы. [30]