Cтраница 2
Ясно, что клеточное пространство тогда и только тогда конечно, когда оно компактно. [16]
Пусть X - конечное клеточное пространство, вложенное в евклидово пространство R большой размерности N, и U - замкнутая регулярная окрестность этого вложения, a dU - ее край. Стандартное отображение р: OU - - X превращается ( по Серру) в расслоение. [17]
Таким образом, клеточное пространство Хп 1 получается из клеточного пространства X приклеиванием ( п - мерных клеток еар посредством приклеивающих отображений / ар. [18]
Действительно, в счетном клеточном пространстве счетным всюду плотным подмножеством будет объединение счетных всюду плотных подмножеств клеток. Обратно, объединение конечных подпространств, содержащих точки счетного всюду плотного подмножества сепарабельного клеточного пространства, будет счетным клеточным подпространством, совпадающим - ввиду его замкнутости - со всем пространством. [19]
Можно сказать, что клеточные пространства ( и, конечно, пространства, им гомотопически эквивалентные) наиболее приспособлены к построению в них теории гомо-тоний. На этом основании топологические пространства, гомотопически эквивалентные клеточным пространствам, называются гомотопически полноценными пространствами. [20]
Поскольку любое компактное подпространство клеточного пространства содержится в конечном подпространстве, мы видим, следовательно, что клеточное пространство тогда и только тогда счетно, когда оно счетно-компактно. [21]
Объединение всех клеток е клеточного пространства X, размерность которых не превосходит п, обозначается символом Sk X или X и называется п-м остовом клеточного пространства X. Это определение согласуется с общим определением остова относительного клеточного пространства, но, поскольку предложение 2 у нас пока еще ме доказано, мы вынуждены дать это определение заново. [22]
А) также являются клеточными пространствами относительно А. [23]
Ограничение в теореме 2 счетными клеточными пространствами вызвано не существом дела, а лишь методом доказательства. [24]
Выбрав теперь в локально конечном клеточном пространстве X некоторую точку, рассмотрим для любого п О подмножество Хп пространства X, состоящее из всех точек, которые можно соединить с точкой ха путем, задевающим не более п клеток. Поскольку ввиду компактности отрезка каждый путь в X задевает только конечное число клеток, возрастающая последовательность подмножеств Хп исчерпывает все пространство X. С другой стороны, замыкание каждой клетки из Ха 1 пересекается, очевидно, с замыканием некоторой клетки из Хп. Поскольку в силу условия ( д) любое компактное множество-и, в частности, замыкание любой клетки - пересекается с замыканиями лишь конечного числа клеток, отсюда посредством очевидной индукции вытекает, что все множества Хп состоят из конечного числа клеток. Следовательно, число клеток в их объединении X не более чем счетно. [25]
Предположим, что В - клеточное пространство. В равны нулю, и точно так же равны нулю и препятствия к построению гомотопии между двумя такими сечениями. Теперь ( а) следует из теоремы 3.1 и сделанного после нее замечания. [26]
Следовательно, каждая клеточная фильтрация клеточного пространства является фильтрацией Барсука. [27]
Подчеркнем, что в структуру клеточного пространства входит его разбиение на клетки и при другом разбиении получается другое клеточное пространство. Поэтому клеточные пространства называются также клеточными разбиениями. Конечно, следовало бы отличать клеточное пространство как собрание клеток от него же как топологического пространства, но чтобы не загромождать изложения, мы, как правило, этого различения делать не будем. [28]
Любое связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно одновершинному клеточному пространству. [29]
Напомним, что, рассматривая пунктированное клеточное пространство, мы всегда предполагаем, что отмеченная точка выбрана среди его вершин. [30]