Cтраница 2
Нормированным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой. Все рассматриваемые в книге нормированные пространства являются векторными пространствами над полем С. Полное нормированное пространство называется банаховым. [16]
Пусть нормированное пространство R2 не является уголковым. [17]
Параметрически нормированные пространства и нормированные массивы. [18]
Если нормированное пространство конечномерно, то понятие полной ограниченности совпадает с обычным понятием ограниченности. Для бесконечномерных пространств понятие полной ограниченности является существенно более сильным. [19]
Всякое нормированное пространство локально выпукло. Действительно, в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное пространство локально ограничено и локально выпукло. Можно показать, что, по существу, нормированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами. Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы. Имеет место следующая теорема: всякое отделимое локально выпуклое и локально ограниченное линейное топологическое пространство нормируемо. [20]
Если нормированное пространство Е не полно, а Е - его пополнение, то пространства Е и ( Е) изоморфны. [21]
Это нормированное пространство не является полным. [22]
Всякое нормированное пространство локально выпукло. Действительно, в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное пространство локально ограничено и локально выпукло. Можно показать, что, по существу, нормированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами. Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы. Имеет место следующая теорема: всякое отделимое локально выпуклое и локально ограниченное линейное топологическое пространство нормируемо. [23]
Если нормированное пространство Е не полно, а Е - его пополнение, то пространства Е и ( Е) изоморфны. [24]
Если нормированное пространство конечномерно, то понятие полной ограниченности совпадает с обычным понятием ограниченности Для бесконечномерных пространств понятие полной ограниченности является существенно более сильным. Хорошо известен следующий критерий предкомпактности в полных пространствах: множество М банахова пространствах предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. [25]
Рассмотрим нормированное пространство L с единичным шаром S, как в предыдущей теореме. [26]
Если полученное нормированное пространство оказывается полным, то оно называется гильбертовым пространством. [27]
Пусть X -линейное нормированное пространство, Л, В: X - -) X - линейные операторы с D ( A) D ( B) X такие, что АВ В А. [28]
Введем теперь нормированное пространство Z, состоящее из точек пространства F, для которого Л служит единичным шаром. Так как А компактно и метризуемо, то пространство Z сепарабельно. [29]
В нормированных пространствах из непрерывности линейного оператора следует его ограниченность по норме, и наоборот. [30]