Cтраница 3
В нормированных пространствах определены длины векторов, но нет скалярного произведения. [31]
В нормированных пространствах особо важную роль играют так называемые линейные функционалы. [32]
В нормированном пространстве можно измерять расстояния, но нельзя еще измерять углы, и это сужает возможности использования геометрической наглядности. В гильбертовом пространстве по определению имеется скалярное произведение векторов, через которое выражаются и длины векторов, и углы между ними. [33]
В нормированных пространствах важную роль играет понятие ограниченного множества. Хотя там это понятие вводится при помощи нормы, оно может быть естественно сформулировано и для любых линейных топологических пространств. [34]
Обозначим получившееся нормированное пространство через X Так как в пространстве X выполнено условие ( А), тэ по теореме 2 интервал / слабо компактен. [35]
Следовательно, нормированные пространства 1Р при р 2 не являются евклидовыми. [36]
Как и любое нормированное пространство, гильбертово пространство Н ( вещественное или комплексное) может быть полным или неполным. Пространства функций с интегральным скалярным произведением ( 12.92 в, 12.956) - не полны ср. Если некоторое гильбертово пространство Н не полно, то его можно пополнить, включая в более широкое нормированное пространство, как это мы делали в 12.38. Покажем, что пополнение гильбертова пространства является не только нормированным, но и гильбертовым пространством. [37]
Вещественное или комплексное нормированное пространство ( Е) является предгильбертовым, если и только если для всех 7 К. [38]
Следствие 7.9. Любое двумерное нормированное пространство R2 является - пространством. [39]
Помимо топологии нормированного пространства, в В ( Е, F) есть л другие топологии, задающие в нем структуру локально выпуклого пространства. [40]
Рассмотрим пример нормированного пространства. Класс С [ а, Ь ] всех непрерывных функций, заданных на отрезке [ a, b ], очевидно является линейным пространством, так как сумма любых двух непрерывных функций непрерывна и непрерывная функция, умноженная на любое число, тоже непрерывна. [41]
В случае нормированного пространства Е в качестве однородно-выпуклого функционала р ( х) можно взять р ( х) f L х ( L - линейное многообразие в Е), и поэтому применительно к нормированным пространствам общая теорема Хана - Банаха ( теорема 3) может быть сформулирована следующим образом. [42]
Рассмотрим понятие нормированного пространства. [43]
Векторное подпространство нормированного пространства само является нормированным. Но векторное подпространство банахова пространства может не быть замкнутым и тогда не является полным. [44]
Конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто. [45]