Cтраница 2
Если линейное нормированное пространство имеет базис, состоящий из конечного или счетного множества элементов, то это пространство сепарабельно. Действительно, нетрудно проверить, что множество всех конечных линейных комбинаций элементов указанных базисов с рациональными коэффициентами счетно и плотно во всем пространстве. [16]
Если линейное нормированное пространство является пл-шт в смысле сходимости по норме, то оно называется пространетьош типа В или пространством Банаха. [17]
Всякое линейное нормированное пространство может быть пополнено до банахова пространства. [18]
Если линейное нормированное пространство В2 - банахово, то пространство линейных ограниченных операторов ( NI - BZ) также является банаховым. [19]
Всякое линейное нормированное пространство содержится и плотно в некотором банаховом пространстве. [20]
Каждое линейное нормированное пространство X имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрического отображения, переводящего X в себя. [21]
Аксиомы линейного нормированного пространства здесь выполняются очевидным образом. Кроме того, пространство X - полное; это легко доказать непосредственно, но можно и сослаться на теорему о полноте пространства Rs ( Щ всех вещественных ограниченных непрерывных функций на метрическом пространстве М ( 12.23 е); в данном случае этим метрическим пространством является совокупность всех натуральных чисел с обычной метрикой числовой оси. [22]
Для линейного нормированного пространства можно определить понятие расстояния между элементами p ( f g ] f - д и понятие сходимости по норме: последовательность / i / 2 - - - сходится к некоторому элементу / ( fn - f при п - сю), если p ( f fn) - О при п - сю. [23]
К линейного нормированного пространства X сепа-рабельно, то и само пространство X сепарабельно. [24]
X линейного нормированного пространства X, рассматриваемого как метрическое с метрикой (57.20), можно продолжить с X алгебраические операции и норму. [25]
В линейном нормированном пространстве понятие сходящегося ряда векторов имеет смысл. [26]
В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику р ( х, у) х - / у, выполнение аксиом которой очевидно. [27]
В линейном нормированном пространстве любой замкнутый шар х - aj r является выпуклым множеством. [28]
В линейных нормированных пространствах, естественно, действуют все определения и теоремы, относящиеся к аффинным линейным пространствам ( без предположения о наличии метрики) и к метрическим ( без предположения о наличии линейной структуры) пространствам. Так, в линейном нормированном пространстве можно ввести понятия центрально-симметричного множества и выпуклого множества, относящиеся к теории линейных аффинных пространств. [29]
В бесконечномерном линейном нормированном пространстве единичный шар не является компактным множеством. [30]