Cтраница 3
Перенося все Rk нашего семейства параллельно в фиксированную точку О и пересекая их с гиперсферой с центром в О, мы получаем аналогичную теорию для семейства плоскостей Sk в эллиптическом пространстве Sn t, которое получится в результате отождествления диаметрально противоположных точек гиперсферы. [31]
Кроме классов компактных симметрических римановых пространств первого ранга, существующих при всех значениях п ( сферические и эллиптические пространства), при всех четных п ( эрмитовы эллиптические пространства) и при всех п, кратных 4 ( киатернионные эллиптические пространства), существует еще единственное 16-мерное симметрическое замкнутое риманово пространство первого ранга ( см. Картан [1], стр. [32]
Пусть т будет серединой Т ( д1г 72); тогда Г ( р / я) и T ( qi, / 2) перпендикулярны, так как pq q есть равнобедренный треугольник и евклидовом, гиперболическом или эллиптическом пространстве. [33]
Оказывается, что такое пространство может быть получено из трехмерного эллиптического пространства следующим путем. В эллиптическом пространстве строится три конгруэнции клиф-фордовых параллелей, лучи которых в каждой точке встречаются под прямыми углами и затем длины вдоль прямых первой конгруэнции умножаются на 2 ] / 7i, вдоль второй - на 2 ] / у2, вдоль третьей - на 2J / JT-Здесь J, Уа, я - главные моменты инерции. Полученное пространство В. В. В а г н е р называет пространством Эйлера; для него даются инвариантные характеристики и выводится ряд свойств. [34]
В сферическом пространстве все прямые линии, начинаясь в какой-либо точке, снова пересекаются в антиподной точке, которая находится от первой точки на расстояний яЛ, измеренном вдоль одной из этих прямых. В эллиптическом пространстве любые две прямые линии не могут иметь более одной общей точки. В обоих типах пространств прямые линии замкнуты: их полная длина равна 2nR в сферическом пространстве и nR в эллиптическом. Наибольшее расстояние между двумя точками в сферическом пространстве равно яЛ, и имеется лишь одна так называемая антиподная точка, удаленная на такое расстояние от данной точки. В эллиптическом пространстве наибольшим возможным расстоянием будет l / 2n R и все точки, находящиеся на этом расстоянии от данной точки, лежат на прямой линии - полярной линии данной точки. [35]
Так, геодезические линии в многообразии Ar-мерных плоскостей представляют собой геликоидообразные семейства таких плоскостей от одного параметра. Например, в эллиптическом пространстве эти семейства имеют такой вид: подвижная Л - мерная плоскость сечет ортогонально k l попарно полярных неподвижных прямых, причем точки сечения перемещаются по этим прямым с постоянными скоростями. Устанавливается связь между параметрами такого геликоида и координатами вектора, указывающего направление геодезической в многообразии плоскостей. [36]
Пусть М - - эллиптическое пространство, a S - изометричное ему пространство, полученное отождествлением диаметрально противоположных точек единичной сферы 5 ( n - f - 1) - мерного евклидова пространства. [37]
Если мы теперь подсчитаем число параметров наших групп, то увидим, что сформулированная выше теорема Штуди доказана. Непрерывная группа Ge движений эллиптического пространства зависит от шести, каждая из непрерывных групп Gg, G. Ge не содержит шестипараметрических подгрупп, а группы Gg-трехпараметрических подгрупп, но между обеими группами существует взаимно однозначное соответствие такого рода, что каждому эллиптическому движению G - G соответствует два евклидовых вращения / - W, г - г и обратно: каждой паре подобных независимых вращений соответствует некоторое эллиптическое движение. [38]
Это будет, очевидно, так, если пространство двумерно. С другой стороны, эрмитовы гиперболические и эллиптические пространства ( см. § 53) представляют примеры, показывающие, что ответ будет отрицательным для всех четномерных пространств, число измерений которых превышает два. [39]
Эллиптические и сферические пространства, но терминологии Кар-тана [1], представляют собой замкнутые симметрические римановы пространства, у которых группа движений ( точнее, ее компонента, содержащая тождество) является простой группой Ли типа BDI и мерного ранга. Эрмитоиы эллиптические пространств имеют соот-нетстпующую группу типа A11I и первого ранга, а кнатерниопные эллиптические пространства - типа СП и первого ранга. В следующем параграфе будет объяснено, почему следует ожидать, что компактные пространства с дважды транзитивными группами движений находятся среди компактных симметрических римановых пространств первого ранга с простой группой Ли в качестве содержащей тождество компоненты группы движений. [40]
Из второго уравнения ( 22) явствует, что скорость здесь постоянна. Таким образом, в системе А материальная частица, двигаясь по инерции, описывает прямую линию в эллиптическом пространстве, причем скорость ее постоянна. [41]
Прежде чем обратиться к общим пространствам с дважды транзитивными группами движений, мы рассмотрим примеры таких пространств непостоянной кривизны. Следующий параграф покажет, что они являются больше, чем только примерами: для случая компактных пространств они вместе со сферическими и эллиптическими пространствами исчерпывают псе пространства с днажды транзитивными группами движений. Для сравнения мы рассмотрим здесь также обыкновенное эллиптическое и гиперболическое пространства. Пусть К обо-значает поле вещественных или комплексных чисел или ( вещественных) кватернионов. [42]
Далее мы истолковываем комплексные числа fj и tf как действительные точки двух римановых числовых сфер KI и Кг и вследствие этого, наконец, получаем, что яаправленные прямые эллиптического пространства, как мы этого хотели, отобразились взаимно однозначно на пары точек /, г сфер KI, Kr причем теперь все стало действительным. [43]
Выпуклость сфер выше была определена только для множеств, в которых сегмент, соединяющий две точки, единствен и поэтому само это понятие неприменимо к произвольным сферам в пространствах эллиптического типа. Однако, так как геодезические ведут себя во многих отношениях подобно проективным прямым, мы можем ожидать, что условие ( е) теоремы (20.9) приведет к разумному аналогу услопия пыпуклости больших сфер. В эллиптическом пространстве, в котором геодезические имеют длину 2Х, геометрическое место точек K ( f, X) предгпшлиет собой гиперплоскость и поэтому не удов-летмориег усломию ( е), однако при о Х сферы К ( р, о) будут удов-летиорнть этому услоиию. [44]
R, само является G-пространством. Таким образом, прямые и большие окружности О-простраиства являются его 1-плоскостями. Евклидовы, гиперболические и эллиптические пространства обладают тем свойством, что любые р - f - 1 точек, не лежащие в одной о-плоскости при о р, расположены в одной ( и только в одной) р-плоскости; в частности три точки, не принадлежащие одной геодезической, определяют 2-илоскость. [45]