Cтраница 4
В сферическом пространстве все прямые линии, начинаясь в какой-либо точке, снова пересекаются в антиподной точке, которая находится от первой точки на расстояний яЛ, измеренном вдоль одной из этих прямых. В эллиптическом пространстве любые две прямые линии не могут иметь более одной общей точки. В обоих типах пространств прямые линии замкнуты: их полная длина равна 2nR в сферическом пространстве и nR в эллиптическом. Наибольшее расстояние между двумя точками в сферическом пространстве равно яЛ, и имеется лишь одна так называемая антиподная точка, удаленная на такое расстояние от данной точки. В эллиптическом пространстве наибольшим возможным расстоянием будет l / 2n R и все точки, находящиеся на этом расстоянии от данной точки, лежат на прямой линии - полярной линии данной точки. [46]
При этом расстояние между точками сферы определяется как длина дуги большой окружности, соединяющей эти точки. Роль прямых в этой геометрии играют большие окружности. Но аналогия с евклидовыми прямыми нарушается тем, что в отличие от прямых, большие окружности пересекаются в двух ( диаметрально противоположных) точках сферы. Удобно отождествить диаметрально противоположные точки сферы и определить расстояние между точками с помощью кратчайшей из дуг. Получившееся при этом новое пространство постоянной положительной кривизны k называют эллиптическим пространством или пространством Римана. [47]
Применяя полученный выше результат к Ф Нг, находим, что Х - - 1, так как при Х 1 В2 оставляло бы точку у неподвижной. Следовательно, Е2 меняет местами у и - у, а Е оставляет у неподвижной. Таким образом, 8 состоит из тождественного преобразования и преобразования х - xf; следовательно, R есть эллиптическое пространство. [48]
Дифференциально-геометрическое рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте проективным. Последнее позволяет для пространств постоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах всего пространства в целом. Например, как впервые указал Клейн), для пространства постоянной положительной кривизны имеются две возможности, в зависимости от того, соответствует ли системе значений координат в представлении ( 122) одна или две точки пространства. В первом случае пространство называется сферическим, во втором случае, на основании проективной терминологии - эллиптическим. Оба вида пространств являются хотя и неограниченными, но конечными в римаповом смысле. Общий объем эллиптического пространства, очевидно, в два раза меньше, чем общий объем сферического пространства той же кривизны. Совершенно такие же соотношения имеют место для полной длины ( замкнутых) геодезических линий обоих пространств. Для пространств постоянной отрицательной кривизны число различных возможностей значительно больше. Особенно замечательна поверхность Клиффорда, которая показывает возможность конечного многообразия с нулевой кривизной. Вопрос о геометрии в целом многообразий постоянной кривизны назван Киллингом проблемой клиффорд-клейновских пространственных форм. [49]