Касательное пространство

Cтраница 4

Это линейное пространство называется касательным пространством к М в х и обозначается ТМХ. [46]

Это - прямая в касательном пространстве ТХМ. Возьмем любой ненулевой вектор этой прямой. [47]

Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство плоской метрикой ( см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов ( точную формулировку см. Бишоп и Криттенден ( 1967, с. Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в R и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха ( см. Флаэрти ( 1975а, с. Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны ( М, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в М быстрее, чем соответствующие геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм Т0 определен в разд. [48]

Обозначим ТМ х и ТЕУ касательные пространства к этим многообразиям в точках х е Л /, у е Е соответственно. [49]

Пространство Vcm у, как касательное пространство к векторному пространству Tff 1ч, канонически изоморфно самому пространству ТтМ; обозначим через р: АГ ( т X) - TmM указаниь канонический изоморфизм. [50]

Здесь алгебра Ли рассматривается как касательное пространство в единице группы. [51]

Ортогональное дополнение в М к касательному пространству в точке Н орбиты гамильтониана Н совпадает с централизатором ZH X G М [ X, Н ] 0 гамильтониана Н в алгебре Ли квадратичных гамильтонианов. [52]

Горизонтальное подпространство е б изоморфно касательному пространству ТХ. [53]

Но с помощью Qd в касательном пространстве Т ( М) можно ввести топологию листа Мебиуса ( см. ( 2.2.16 3)), в результате чего топологически Т ( М ] не представимо в виде произведения Т ( М) / М х Rm. Но если Т ( М) как многообразие диффеоморфно М х Rm, то многообразие М называется параллелизуемым, поскольку произведение карт позволяет в этом случае определить, что такое параллельность ( и даже тождественность) касательных векторов в различных точках. Локально Т ( М) всегда есть произведение многообразий. [54]

Это равенство имеет место в касательном пространстве к G в точке р ( уб), причем точка в правой части обозначает соответственно левый и правый переносы. [55]

Линеаризация в окрестности положения равновесия. [56]

Линеаризованное векторное поле живет в касательном пространстве исходного фазового пространства в положении равновесия. [57]

В § 2 мы нашли эти касательные пространства более простым рассуждением, а в предыдущем абзаце более простым вычислением - теперь рассуждение проведено раз и навсегда. Нужно только распространить его на случай многих переменных. [58]

Страницы: 1 2 3 4