Cтраница 4
Вскоре после появления циклических гомологии в работах Ю. П. Соловьева и его учеников [27, 36-39, 68] была создана теория диэдральных гомологии, оказавшаяся важным инструментом для исследования гомотопического строения групп гомеоморфизмов многообразий. Используя диэдральные гомологии и теорию рационального гомотопического типа, Ю.П. Соловьев и Р. Л. Красаус-кас разработали эффективную схему для вычисления рангов гомотопических групп для группы гомеоморфизмов односвязных многообразий и получили точные значения этих рангов для квадрик в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана, комплексных многообразий флагов. Сравнительно недавно Н.В. Солодов [71] разработал конструкцию бивариантных диэдральных когомологии и нашел серию точных последовательностей, связывающих эти когомологии с бивариантными циклическими когомологиями. [46]
Взаимно однозначное отображение совокупности всех точек комплексного проективного пространства на совокупность всех его плоскостей и совокупности всех плоскостей-на совокупность всех точек, сохраняющее инцидентности точек и плоскостей, называется коррелятивным преобразованием комплек ного проективного пространства. Если при этом каждая плоскость переходит в ту точку, которая переходит в эту плоскость ( и. Из предшествующего ясно, что отображение, относящее каждой точке ее полярную плоскость относительно заданной неконической поверхности второго порядка, а каждой плоскости - ее полюс относительно этой поверхности, есть инволютивное коррелятивное преобразование. Оно называется поляритетом комплексного проективного пространства относительно рассматриваемой неконической поверхности второго порядка. Можно показать, что каждое инволютивное коррелятивное преобразование комплексного проективного пространства есть поляритет относительно некоторой неконической поверхности второго порядка. [47]
КЭЛЕРОВО МНОГООБРАЗИЕ - комплексное многообразие, на к-ром можно ввести Кэлера метрику. В частности, все проективные комплексные алгебраич. Фубини - Штуди метрикой на комплексном проективном пространстве. Аналогично, всякое подмногообразие в аффинном пространстве С ( в частности, всякое Штейна многообразие) является кэлеровым. В частности, любой комплексный тор есть К. Всякое одномерное комплексное многообразие кэлерово. [48]
НГ ( Х) изоморфна группе коэффициентов G при г0 2, прямой сумме G2 2ге экземпляров группы G при г1 и 0-в остальных случаях. Для n - мерного действительного проективного пространства Р группа НГ ( Р) изоморфна группе G при г0 или гп и нечетном, группе G2 при г нечетном и 0гга, группе T2 ( G) при г четном и 0г: га и 0 - в остальных случаях. Группа гомологии НГ ( СР) комплексного проективного пространства СРп размерности 2ге изоморфна группе G при г четном и 0: г: 2ге и О - в остальных случаях. [49]
С, т), соответственно, ( г и г & г & г) и ( 5i 5Q % 5) пропорциональны четверкам, образованным вещественными числами. Таким образом, прямая вещественна тогда и только тогда, когда она проходит через две различные вещественные точки. Можно показать, что, аналогично, плоскость вещественна тогда и только тогда, когда она проходит через три вещественные точки, не лежащие на одной прямой. Очевидно, плоскости и прямые вещественного проективного пространства суть не что иное, как ховокупности всех вещественных точек вещественных плоскостей и прямых комплексного проективного пространства, выражаемых теми же уравнениями; но, кроме вещественных точек, последние плоскости и прямые содержат также бесконечное множество мнимых точек. Легко видеть, что вещественные плоскости и прямые одновременно с каждой своей точкой Йодержат и комплексно сопряженную с ней точку. [50]
Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое ( с нек-рыми топологич. U, имеют вид jtj, м1 1 / при / sjoc, х, и / и при [ а. В приложениях часто возникают также многообразия, являющиеся группами Ли и однородными пространствами. Если в определении многообразия n 2m и ф-ции перехода ( 3), определенные в области комплексного пространства С, комплексно аналитичны, то М2т наз. Примерами комплексно-одномерных многообразий являются комплексная плоскость С, сфера Римана СП, получающаяся из С добавлением бесконечно удаленной точки, а также римановы поверхности многозначных аналитических функций. Определены также комплексные проективные пространства СР, определяемые по аналогии с RP, но все координаты векторов комплексные. Комплексные алгебраические многообразия в СР локально задаются системами однородных алгебраич. [51]